Съдържание

ВсОШ 2002, Заключителен етап — Задача 11.4. Заряд на конденсаторе

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2002

XXXVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур

Условие

С одной из пластин изначально незаряженного конденсатора мгновенно отделяется тонкий слой вещества, несущий заряд $q$ . Затем он движется поступательно как целое с постоянной скоростью $v$ по направлению к противоположной пластине (рис. 8). Найдите зависимость тока в цепи от времени, пока слой движется в конденсаторе. Расстояние между пластинами конденсатора $D$ , площадь поперечного сечения пластин $S$ , индуктивность катушки $L$ .

Плоский конденсатор, замкнутый через катушку индуктивности L; между пластинами — тонкий слой с зарядом q, движущийся со скоростью v⃗ к противоположной пластине. — Рис. 8

Отговори

Решение

Сразу после испарения слоя вещества ток в цепи будет равен нулю, заряд на левой пластинке будет равен $q$ , а на правой заряда не будет. Теперь рассмотрим произвольный момент времени (рис. 16). По закону сохранения заряда, если на правой пластинке появится заряд $Q$ , то на левой будет заряд $(-q - Q)$ . Напряжение на конденсаторе будет создаваться полями трех заряженных пластин:

U_c = \frac{(q+Q)}{2\varepsilon_0S}D + \frac{Q}{2\varepsilon_0S}D + \frac{q}{2\varepsilon_0S}vt - \frac{q}{2\varepsilon_0S}(D - vt) = \frac{2QD + 2qvt}{2\varepsilon_0S},

где $t$ — время, которое отсчитывается от момента испарения слоя. Запишем закон Ома для нашей цепи;

L\frac{dI}{dt} = \frac{QD}{\varepsilon_0S} + \frac{qvt}{\varepsilon_0S}.

Продифференцируем обе части этого уравнения по $t$ :

\frac{d^2I}{dt^2} + \frac{D}{\varepsilon_0SL}I = \frac{qv}{\varepsilon_0SL}.

Общее решение этого дифференциального уравнения

I(t) = \frac{qv}{D}(C_1\cos\omega_0t + C_2\sin\omega_0t + 1),\qquad \text{где}\qquad \omega_0^2 = \frac{D}{\mathcal{E}_0SL}.

Из начальных условий $I = 0$ и $dI/dt = 0$ при $t = 0$ (так как $U_c(0) = 0$ ) следует, что решение имеет вид:

I(t) = \frac{qv}{D}(1 - \cos\omega_0t).

Конденсатор с зарядами −q − Q на левой пластине и Q на правой; между ними слой с зарядом q, движущийся со скоростью v⃗ вправо; знаки «−» и «+» у пластин; цепь замкнута через катушку, ток I показан стрелкой. — Рис. 16

Оригинал в Архива: final02T.pdf