Съдържание

ВсОШ 2002, Заключителен етап — Задача 11.3. Коллекторный двигатель

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2002

XXXVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур

Условие

Коллекторный двигатель питается от источника постоянного тока с напряжением $U = 12$ В. На холостом ходу сила тока через обмотки ротора $I_1 = 4$ А. Когда ротор затормозили до полной остановки, сила тока увеличилась до $I_2 = 24$ А. Какую наибольшую полезную механическую мощность можно получить с помощью этого электродвигателя, если магнитное поле в нем создается постоянными магнитами, а момент сил трения в подшипниках ротора не зависит от скорости его вращения и механической нагрузки?

Отговори

Решение

Возникающая в обмотках ротора ЭДС $\mathcal{E}$ прямо пропорциональна угловой скорости его вращения, то есть $\mathcal{E} = \alpha\omega$ . Поэтому при полной остановке ротора ток через обмотки определяется только их активным сопротивлением $R = U/I_2$ .

Пусть $\omega_1$ — угловая скорость вращения ротора при работе двигателя на холостом ходу, тогда из закона Ома $U = \alpha\omega_1 + I_1R$ находим $\alpha = (U - I_1R)/\omega_1$ . В этом случае работа источника идет на выделение тепла в обмотках и преодоление сил трения, поэтому из закона сохранения энергии $UI_1 = M\omega_1 + I_1^2R$ находим момент сил трения $M = (UI_1 - I_1^2R)/\omega_1$ .

Когда двигатель нагружен и вращается с угловой скоростью $\omega$ , из закона Ома $U = \alpha\omega + IR$ находим силу тока в обмотках $I = (U - \alpha\omega)/R$ . Полезная мощность двигателя в этом случае:

P(\omega) = UI - I^2R - M\omega = -\frac{\alpha^2}{R}\omega^2 + \left(\frac{\alpha U}{R} - M\right)\omega.

Это квадратичная функция, поэтому $P(\omega)$ будет максимальна при

\omega = \omega_m = \frac{\alpha U - MR}{2\alpha^2}.

Подставив в $P(\omega)$ выражения для $R$ , $\alpha$ , $M$ и $\omega_m$ , получим:

P_{max} = P(\omega_m) = \frac{UI_2}{4}\left(1 - \frac{I_1}{I_2}\right)^2 = 50\ \text{Вт}.

Оригинал в Архива: final02T.pdf