ВсОШ 2002, Заключителен етап — Задача 9.2. Жук на палочке

• $h_{max} = \frac{L}{2}\frac{u}{v}\ (u \le v\sqrt{2});\qquad h_{max} = L\sqrt{1 - \frac{v^2}{u^2}}\ (u > v\sqrt{2})$

Пусть $G$ — место нахождения жука на палочке, $M$ — середина палочки, $GK = h$ — высота жука над полом, $ON = H$ — расстояние от угла $O$ до палочки (рис. 10), $t$ — время, прошедшее с начала движения жука, тогда:

Треугольники $ONB$ и $GKB$ подобны, так как они прямоугольные и угол $\beta$ общий, поэтому:

откуда

В прямоугольном треугольнике $OMN$ катет $ON = H \le OM = L/2$ ($OM$ — гипотенуза), причем равенство достигается при $\beta = 45^{\circ}$. Следовательно,

Этот результат верен, если за время $t_{max} = Lcos45^{\circ}/v$ жук не успевает доползти до верхнего конца палочки, то есть когда $ut_{max} < L$, что эквивалентно неравенству $u \le v\sqrt{2}$. В противном случае высота $h$ будет максимальной к моменту времени $t = L/u$ достижения жуком точки $A$: