Съдържание

ВсОШ 2002, Заключителен етап — Задача 9.3. Две проволоки

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2002

XXXVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур

Условие

Две тонкие медные проволоки одинаковой длины соединили параллельно и подключили последовательно с лампочкой к источнику постоянного напряжения. Первая проволока нагрелась на $16^{\circ}\mathrm{C}$ выше комнатной температуры, а вторая — в $\alpha = 2$ раза меньше. На сколько градусов выше комнатной температуры нагреются проволоки, если их параллельное подключение заменить на последовательное? Сопротивление каждой из проволок много меньше сопротивления лампочки и источника, зависимость сопротивления проволок от температуры не учитывать.

Отговори

Решение

Пусть $r_1$ и $r_2$ — радиусы проволок, $l$ — их длина, тогда сопротивление проволок

R_1 = \frac{\rho l}{\pi r_1^2},\qquad R_2 = \frac{\rho l}{\pi r_2^2}.

Мощности электрического тока, выделяющиеся на каждой из проволок при параллельном соединении:

(1)\qquad N_1 = \frac{U^2}{R_1} = \frac{U^2\pi r_1^2}{\rho l},\qquad\qquad N_2 = \frac{U^2}{R_2} = \frac{U^2\pi r_2^2}{\rho l},\qquad (2)

где $U$ — напряжение на проволоках. В установившемся режиме, когда первая проволока нагрелась на $\Delta t_1$ , а вторая — на $\Delta t_2$ , вся мощность электрического тока уходит через боковые поверхности проволок на нагревание окружающей среды:

(3)\qquad N_1 = k \cdot 2\pi r_1 l\Delta t_1,\qquad\qquad N_2 = k \cdot 2\pi r_2 l\Delta t_2,\qquad (4)

где $k$ — коэффициент пропорциональности. Приравняв (1) к (3) и (2) к (4), получим:

U^2 r_1 = 2k\rho l^2\Delta t_1,\qquad U^2 r_2 = 2k\rho l^2\Delta t_2,

откуда $r_1/r_2 = \Delta t_1/\Delta t_2 = \alpha$ . Следовательно, отношение токов через проволоки при параллельном соединении

\frac{I_1}{I_2} = \frac{U/R_1}{U/R_2} = \frac{R_2}{R_1} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 = \alpha^2.

Поскольку сопротивление каждой из проволок много меньше сопротивления лампочки и источника, то при замене параллельного соединения на последовательное сила общего тока в цепи не изменится: $I = I_1 + I_2 = (1+\alpha^2)I_2$ . Нагрев проволок (от комнатной температуры) в обоих случаях прямо пропорционален выделяющейся на них мощности электрического тока:

\frac{\Delta t_1'}{\Delta t_1} = \frac{N_1'}{N_1} = \frac{I^2R_1}{I_1^2R_1} = \left(\frac{\alpha^2+1}{\alpha^2}\right)^2,\qquad \frac{\Delta t_2'}{\Delta t_2} = \frac{N_2'}{N_2} = \frac{I^2R_2}{I_2^2R_2} = (\alpha^2+1)^2,

где штрихованные переменные относятся к последовательному подключению проволок. Отсюда получаем:

\Delta t_1' = \left(\frac{\alpha^2+1}{\alpha^2}\right)^2\Delta t_1 = 25^{\circ}\mathrm{C},\qquad \Delta t_2' = (\alpha^2+1)^2\frac{\Delta t_1}{\alpha} = 200^{\circ}\mathrm{C}.

Оригинал в Архива: final02T.pdf