Съдържание

ВсОШ 2002, Заключителен етап — Задача 9.4. Нелинейный элемент

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2002

XXXVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур

Условие

Электрическая цепь (рис. 2) состоит из резистора $R$ и нелинейного элемента $X$ , включенных последовательно. Вольтамперные характеристики (ВАХ) элементов $R$ и $X$ известны (рис. 3). На участке $0 \le U \le U_0$ ВАХ обоих элементов совпадают. На вход цепи подается некоторое напряжение $V$ .

Схема: резистор R и нелинейный элемент X (прямоугольник, перечеркнутый ломаной линией) соединены последовательно; внизу разомкнутые клеммы, на которые подается напряжение V. — Рис. 2

Вольтамперные характеристики в осях U (горизонтальная) и I (вертикальная): прямая R через начало координат; характеристика X совпадает с ней до точки (U₀, I₀), далее горизонтальна на уровне I₀. Пунктиром отмечены I₀ и U₀. — Рис. 3

1. Определите, какая доля $\eta_1$ теплоты, выделяющейся в цепи, приходится на нелинейный элемент в случаях $V \le 2U_0$ и $V = 4U_0$ .

2. Включим последовательно в цепь еще один элемент $X$ . Изобразите ВАХ двух последовательно включенных нелинейных элементов. Определите, какая доля $\eta_2$ теплоты, выделяющейся в цепи, приходится на оба нелинейных элемента в случае $V = 4U_0$ .

3. А теперь подключим второй элемент $X$ параллельно первому. Изобразите ВАХ двух параллельно включенных нелинейных элементов. Определите, какая доля $\eta_3$ теплоты, выделяющейся в цепи, приходится на оба нелинейных элемента в случае $V = 4U_0$ .

Отговори

Решение

Сопротивление резистора $R = U_0/I_0$ , напряжение на нелинейном элементе $U = V - RI = V - U_0I/I_0$ .

а) При $V \le 2U_0$ нелинейный элемент ведет себя как резистор $R$ . Следовательно, выделяющаяся в цепи теплота поровну распределяется между резистором и нелинейным элементом, то есть $\eta_{1\text{а}} = 0{,}5$ .

б) При $V \ge 2U_0$ сила тока $I$ достигает своего максимального значения $I_0$ , а напряжение $U = V - U_0$ ; тогда

\eta_{1\text{б}} = \frac{P_X}{P_X + P_R} = \frac{UI}{UI + RI^2} = \frac{(V-U_0)I_0}{(V-U_0)I_0 + U_0I_0} = 1 - \frac{U_0}{V} = 0{,}75.

ВАХ двух последовательно соединенных нелинейных элементов получается сложением напряжений для каждого фиксированного значения силы тока (рис. 11). Суммарное напряжение на нелинейных элементах $U = V - RI = V - U_0I/I_0$ . Пусть при $V = 4U_0$ сила тока $I = I_0$ , тогда $U = V - U_0 = 3U_0 > 2U_0$ , значит, наше предположение о силе тока верно, поэтому

\eta_2 = \frac{UI}{UI + RI^2} = \frac{(V-U_0)I_0}{(V-U_0)I_0 + U_0I_0} = 1 - \frac{U_0}{V} = 0{,}75.

Таким образом, в режиме насыщения доля теплоты, выделяющаяся на нелинейных элементах, не зависит от их числа.

ВАХ двух параллельно соединенных нелинейных элементов получается сложением сил токов для каждого фиксированного значения напряжения (рис. 12). Напряжение на каждом нелинейном элементе $U = V - RI = V - U_0I/I_0$ . Пусть при $V = 4U_0$ сила тока $I = 2I_0$ , тогда $U = V - U_0 = 2U_0 > U_0$ , значит, наше предположение о силе тока верно, поэтому

\eta_3 = \frac{UI}{UI + RI^2} = \frac{4U_0I_0}{4U_0I_0 + 4U_0I_0} = 0{,}5.

Оси U и I. Прямая R через начало координат; ломаная X + X: наклонная прямая от начала координат до точки (2U₀, I₀), далее горизонтальна на уровне I₀. Пунктиром отмечены I₀, U₀ и 2U₀. — Рис. 11

Оси U и I. Прямая R через начало координат; ломаная X + X: крутая прямая от начала координат до точки (U₀, 2I₀), далее горизонтальна на уровне 2I₀. Пунктиром отмечены I₀, 2I₀, U₀ и 2U₀. — Рис. 12

Оригинал в Архива: final02T.pdf