ВсОШ 2002, Заключителен етап — Задача 10.1. Мощный автомобиль

• $v_{max} = \min\left((N/k)^{1/3};\ \sqrt{\mu mg/k}\right),\quad v_0 \approx 71\ \text{м/с},\quad N_0 \approx 70\ \text{кВт}$

При движении с постоянной скоростью $v$ на автомобиль по горизонтали действуют две силы: $F_{\text{сопр}} = kv^2$ (направлена назад), $F_{\text{тр}}$ (направлена вперед). Если скорость $v$ велика настолько, что $F_{\text{сопр}} > F_{\text{тр}\ max} = \mu mg$, то движущая сила $F = F_{\text{тр}} < F_{\text{сопр}}$, и автомобиль будет тормозиться. Даже если мощность двигателя достаточно велика, колеса будут проскальзывать, и снова $F = F_{\text{тр}\ max} < F_{\text{сопр}}$. Значит, есть предельная скорость $v_0$, не зависящая от мощности двигателя. При этой скорости $F_{\text{сопр}} = F_{\text{тр}\ max}$, то есть $kv_0^2 = \mu mg$, откуда $v_0 = \sqrt{\mu mg/k} \approx 71$ м/с. С другой стороны, для поддержания постоянной скорости $v$ требуется мощность $N = F_{\text{сопр}} \cdot v = kv^3$. Значит, $v_{max}(N) = (N/k)^{1/3}$. Обобщим полученные результаты (рис. 13):

Начиная с мощности $N_0$, $v_{max}$ перестает расти, то есть $v_{max} = v_0$ при $(N/k)^{1/3} \ge \sqrt{\mu mg/k}$, то есть при $N \ge \mu mg\sqrt{\mu mg/k} \approx 70$ кВт.