Съдържание

ВсОШ 2002, Заключителен етап — Задача 10.2. Кот Леопольд

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2002

XXXVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур

Условие

Кот Леопольд сидел на самом краю крыши сарая. Два озорных мышонка решили выстрелить в него из рогатки, но кот заметил их и решил отстреливаться... Камни из рогаток мышат и кота вылетели одновременно и столкнулись в середине отрезка $AB$ (рис. 4). Найдите высоту $H$ сарая и отношение пути, пройденного камнем кота Леопольда, к пути, пройденному камнем мышат, если известно, что $\angle\varphi = 30^{\circ}$ , скорость камня, вылетевшего из рогатки мышат, $v_0 = 7$ м/с, а кот выстрелил горизонтально.

Мышата в яме в точке A на уровне земли, кот на краю крыши сарая в точке B; пунктирный отрезок AB образует с горизонталью угол φ. — Рис. 4

Отговори

Решение

Пусть $t$ — время полета камней до столкновения, $\alpha$ — угол, образованный начальной скоростью камня мышат с горизонтом. Из условия столкновения камней в середине $AB$ следует, что

v_0t\sin\alpha - \frac{gt^2}{2} = \frac{H}{2} = \frac{gt^2}{2},

откуда

t = \frac{v_0\sin\alpha}{g},\qquad H = gt^2 = \frac{v_0^2\sin^2\alpha}{g}.

Перемещение камня мышат $\vec{S}_{\text{м}} = \vec{v}_0t + \vec{g}t^2/2$ (рис. 14). Из рисунка ясно, что $\operatorname{tg}\alpha = 2\operatorname{tg}\varphi = 2\operatorname{tg}30^{\circ} = 2/\sqrt{3}$ , откуда $\sin\alpha = 2/\sqrt{7}$ . Подставив значение $\sin\alpha$ в выражение для высоты сарая, получим $H \approx 2{,}8$ м.

Сравним обращенное во времени движение камня, брошенного котом Леопольдом, с движением камня, брошенного мышатами. У этих движений одинаковые перемещения $\vec{S}$ , времена $t$ и ускорения $\vec{g}$ , поэтому

\vec{v}_0t + \vec{g}\frac{t^2}{2} = \vec{S} = \vec{v}_{\text{к}}t + \vec{g}\frac{t^2}{2},

где $\vec{v}_{\text{к}}$ — начальная скорость обращенного движения камня кота. Из этого уравнения следует, что $\vec{v}_{\text{к}} = \vec{v}_0$ . Следовательно, совпадают траектории движений, а значит, и пройденные пути.

Векторная диаграмма перемещений: из точки A на земле выходят вектор v⃗₀t под углом α к горизонту и отрезок к середине AB под углом φ; от конца v⃗₀t вниз направлен вектор g⃗t²/2; сверху горизонтальный вектор v⃗₁t у точки B; высота сарая H и половина высоты H/2 отмечены стрелками. — Рис. 14

Оригинал в Архива: final02T.pdf