Съдържание

ВсОШ 2002, Регионален етап, 8–11 клас — Задача 11.5. Эффект Зеемана

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2002

XXXVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Московский областной этап. Теоретический тур. Методическое пособие

Условие

В магнитном поле с индукцией $B = 10$ Тл спектральная линия атома водорода с длиной волны $\lambda_0 = 121$ нм расщепляется на две. Разность между длинами волн этих линий $\Delta\lambda = 1{,}37 \cdot 10^{-2}$ нм. Рассмотрите планетарную модель атома, в которой частота излучаемого света равна частоте обращения электрона вокруг ядра. Из этих данных определите отношение $e/m$ , где $e$ — заряд электрона, а $m$ — его масса.

Примечание. Примечание. Считайте, что плоскость орбиты электрона перпендикулярна внешнему магнитному полю, а ее радиус не изменяется при помещении атома в магнитное поле. Скорость света $c = 3 \cdot 10^8$ м/с.

Отговори

Решение

Перейдем от длин волн к угловым скоростям электрона в атоме по формуле $\omega_0 = 2\pi c/\lambda_0$ . Расщеплению спектральных линий $\Delta\lambda = \lambda_2 - \lambda_1$ соответствует расщепление $\Delta\omega = \omega_1 - \omega_2$ . По условию $\Delta\lambda \ll \lambda$ , значит $\Delta\omega \ll \omega$ , поэтому

\Delta\omega = \omega_1 - \omega_2 = 2\pi c(\frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2}) = \frac{2\pi c\Delta\lambda}{\lambda_1\lambda_2} \approx \frac{2\pi c\Delta\lambda}{\lambda_0^2}. \qquad (1)

Центростремительное ускорение электрона в атоме обеспечивается силой Кулона:

a_0 = \omega_0^2R = \frac{F}{m} = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon R^2m}, \qquad (2)

где $R$ — расстояние от ядра до электрона, $\omega_0$ — угловая скорость вращения электрона вокруг ядра в отсутствие внешнего магнитного поля. При помещении же атома в поле

a = \omega^2R = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon R^2m} + \frac{evB}{m}, \qquad (3)

где $\omega$ — угловая скорость вращения электрона вокруг ядра во внешнем магнитном поле, а $v = \omega R$ . Будем считать, что $\omega > 0$ , если вращение электрона связано правилом правого буравчика с направлением магнитного поля, и $\omega \lt 0$ в случае левого буравчика. Из (2) и (3) получаем

\omega^2 - \frac{eB}{m}\omega - \omega_0^2 = 0.

По теореме Виета

\omega_1' + \omega_2' = \frac{eB}{m}, \qquad \omega_1'\omega_2' = -\omega_0^2,

где $\omega_1'$ , $\omega_2'$ — корни уравнения. Полученные частоты соответствуют частотам двух спектральных линий, наблюдаемых в эксперименте: $\omega_1 = \omega_1'$ , $\omega_2 = |\omega_2'|$ .

Значит,

\Delta\omega = \omega_1 - \omega_2 = \omega_1' + \omega_2' = \frac{eB}{m}. \qquad (4)

Приравняем (1) и (4):

2\pi\frac{c}{\lambda_0^2}\Delta\lambda = \frac{eB}{m},

откуда

\frac{e}{m} = 2\pi c\frac{\Delta\lambda}{\lambda_0^2B} = 1{,}76 \cdot 10^{11}\ \text{Кл/кг}.

Оригинал в Архива: region02T.pdf