ВсОШ 2002, Зонален етап, 9–11 клас — Задача 5. Коэффициент Пуассона

• 0.5

  Оценка при постоянной плотности материала: $\mu = 0{,}5$; измеренное значение $\mu = -\frac{\Delta b/b_0}{\Delta a/a_0}$.

Шариковой ручкой рисуем на резиновом бинте прямоугольник 50 мм$\times$40 мм. Прямоугольник рисуем примерно в середине бинта. Зажимаем бинт с помощью брусочков лапками и слегка натягиваем. Измеряем действительные размеры нарисованного прямоугольника. Растягиваем бинт на 1-2 см и повторяем измерение.

Пусть в результате первого измерения высота и ширина прямоугольника были $a_0$ и $b_0$, а после растяжения стали $a_1$ и $b_1$ соответственно. Тогда коэффициент Пуассона равен:

где $\Delta b = b_1 - b_0$, а $\Delta a = a_1 - a_0$.

Если бы в процессе деформации не происходило изменение плотности материала (как в жидкости), то не изменялся бы и объем тела:

где $x$, $y$, $z$ — первоначальные размеры тела (параллелепипеда). Сократив это равенство на $V = xyz$, получим:

Предположим, что материал изотропный, то есть его свойства одинаковы во всех направлениях, тогда при растяжении вдоль $z$ будет $\Delta x/x = \Delta y/y = -\mu\Delta z/z$. Подставим это в предыдущее уравнение и получим:

откуда коэффициент Пуассона $\mu = 0{,}5$.