ВсОШ 2002, Зонален етап, 9–11 клас — Задача 6. «Черная банка»

• По зависимости силы от высоты конца нити (4 ступеньки $F_1$–$F_4$ в точках $x_1$–$x_4$) находятся массы, плотности грузов, расстояние между ними и уровень воды; формулы для случаев 5 и 6 приведены в решении.

Рекомендации для организаторов. «Черный ящик» представляет собой непрозрачный сосуд с водой, в который опущена нить с закрепленными на ней двумя грузами, находящимися на определенном расстоянии. Желательно, чтобы масса каждого из грузов была около 100 г, а их плотность — примерно вдвое больше плотности воды. Следует изготовить два варианта «черного ящика» (каждый вариант — приблизительно для половины участников).

В первом случае уровень воды таков, что покрывает (с запасом) оба груза, лежащие на дне, а длина нити, соединяющей грузы, больше (с запасом) высоты уровня воды. Если потянуть за конец нити, то в этом случае сначала верхний груз будет подниматься в воде, затем верхний груз — в воздухе (нижний при этом лежит на дне и на нить не действует), затем — верхний груз в воздухе и нижний — в воде, затем — оба груза в воздухе. Необходимо, чтобы на всех этапах можно было провести измерение силы динамометром.

Во втором случае нить, соединяющая грузы, короткая, а высота уровня воды достаточно большая, превышающая сумму длины нити и размеров грузов. Если потянуть за конец нити, то сначала верхний груз будет подниматься в воде, затем оба груза будут подниматься в воде, затем — первый в воздухе и второй — в воде, затем - оба груза в воздухе. Необходимо, чтобы на всех этапах можно было бы провести измерение силы динамометром.

Грузы можно изготовить следующим образом: взять рыболовные грузы (от 42 г до 70 г) и «облепить» их пластилином (около 40 г).

Прикрепив верхний конец нити к динамометру, будем медленно вытягивать систему грузов из воды. Снимем зависимость приложенной силы от высоты верхнего конца нити. Получившийся при этом график будет содержать 4 горизонтальных участка (рис. 6). При этом переходы между горизонтальными участками не всегда будут строго вертикальны.

Для определения параметров системы исследуем возможные случаи. Обозначим через $h$ высоту уровня жидкости в сосуде, $l$ — расстояние между грузами, $m_1$ и $\rho_1$ — масса и плотность ближайшего к динамометру груза, $m_2$ и $\rho_2$ — масса и плотность второго груза, $\rho$ - плотность воды.

Анализируя внутреннее устройство черного ящика, пренебрежем сначала размерами грузов.

Заметим, что силы, действующие на систему, могут меняться только в случаях, когда груз:

• отрывается от дна;
• отрывается от поверхности воды;
• поднимается на поверхность воды.

Поэтому число ступенек будет зависеть от параметров системы следующим образом:

Результатам эксперимента могут отвечать случаи 5, 6, 7 (см. таблицу). Учтем теперь конечность размеров грузов.

В случае 5 переходы вблизи точек $x_3$ и $x_4$ являются «размытыми», вблизи точек $x_1$ и $x_2$ — вертикальными.

В случае 6 переходы вблизи точек $x_2$ и $x_4$ являются «размытыми», вблизи точек $x_1$ и $x_3$ — вертикальными.

В случае 7 переходы вблизи точек $x_2$, $x_3$ и $x_4$ являются «размытыми», вблизи точки $x_1$ — вертикальным.

Исследовав, какие участки вертикальны, какие — размыты, можно определить, какой из случаев — 5, 6 или 7 — имеет место.

Поскольку в варианте 7 «черные ящики» не изготавливались, опустим анализ этого случая.

Массы и плотности грузов однозначно определяются силами $F_1$, $F_2$, $F_3$ и $F_4$. Расстояния между грузами и уровень воды в сосуде оцениваются из значений $x_1$, $x_2$, $x_3$ и $x_4$. В случае 5

причем $x_2 - x_1 = l$, $x_3 - x_2 = h - l$, $x_4 - x_3 = l$. Следовательно,

В случае 6

причем $x_2 - x_1 = h$, $x_3 - x_2 = l - h$, $x_4 - x_3 = h$. Следовательно,

Размеры грузов можно оценить из размытости участков вблизи $x_2$, $x_3$, $x_4$, а также из найденного объема грузов.