Съдържание

Условие Отговори Решение

ВсОШ 2002, Зонален етап, 9–11 клас — Задача 11.5. Циклический процесс

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2002

XXXVI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Окружной этап. Теоретический тур

Авторы задач

9 класс: 1. Шведов О. 2. Слободянин В. 3. Слободянин В. 4. Слободянин В.

10 класс: 1. Судаков О. 2. Шведов О. 3. Подлесный Д. 4. Чудновский А. 5. Шведов О.

11 класс: 1. Подлесный Д. 2. Шведов О. 3. Мельниковский Л. 4. Слободянин В. 5. Подлесный Д.

Условие

В откачанный цилиндрический сосуд с поршнем впрыснули некоторое количество воды. Содержимое сосуда довели до равновесного состояния с температурой $t_1 = 76^{\circ}\mathrm{C}$ , при этом объем сосуда составил $V_1 = 50$ л. Далее с содержимым сосуда совершают квазистатический круговой цикл, состоящий из:

изотермического расширения до объема $V_2 = 3V_1$ , в результате которого давление в сосуде уменьшается в два раза;
изобарического сжатия до объема $V_3 = \frac{3}{2}V_1$ ;
изотермического сжатия до объема $V_4 = V_1$ ;
изохорического нагревания до начальной температуры.

Принимая во внимание зависимость давления насыщенных паров воды от температуры (рис. 13), найдите: максимальную и минимальную температуры в цикле; массу воды, впрыснутой в сосуд; работу, совершенную системой в цикле.

График зависимости давления насыщенных паров воды p_нас, кПа (от 0 до 100) от температуры t, °C (от 0 до 100) на миллиметровой сетке: кривая растет экспоненциально, проходя примерно через 20 кПа при 60 °C, 40 кПа около 76 °C, 47 кПа при 80 °C и 100 кПа при 100 °C. — Рис. 13

Примечание. При изотермическом расширении от объема $V_1$ до объема $V_2$ идеальный газ совершает работу: $A = \frac{m}{\mu}RT\ln\frac{V_2}{V_1}$ , где $\frac{m}{\mu}$ — количество молей газа, $T$ — температура газа, $R$ — универсальная газовая постоянная.

Отговори

Решение

Рассмотрим сначала процесс качественно. В начальный момент при температуре $t_1$ в сосуде находится смесь воды и ее насыщенных паров. В процессе изотермического расширения вся вода испаряется, и пар становится ненасыщенным. В ходе изобарического сжатия температура пара начинает уменьшаться до некоторого значения $T_{min}$ . При достижении этой температуры пар становится насыщенным, и дальнейшее изобарическое сжатие происходит при этой минимальной температуре. При последующем изотермическом сжатии насыщенного пара его давление изменяться не будет. Наконец, после изохорического нагревания содержимого сосуда система вода-пар возвращается в исходное состояние. Таким образом, рассматриваемый круговой процесс на $pV$ -диаграмме имеет вид (рис. 23).

Из данного в условии графика $p_{\text{нас}}(t)$ находим начальное давление $p_1 = 40$ кПа. Из того же графика находим температуру, соответствующую давлению насыщенных паров $p_2 = p_1/2$ . Это будет минимальная температура во всем процессе: $T_{min} = 333\ \text{К} = 60^{\circ}\mathrm{C}$ . Максимальной температурой является начальная температура $T_{max} = T_1 = 349\ \text{К} = 76^{\circ}\mathrm{C}$ .

pV-диаграмма цикла на сетке: по оси p отмечены p1 и p2, по оси V — V1, 2V1, 3V1; точки 1 и 1′ на уровне p1 (горизонтальный участок 1→1′), изотерма 1′→2 спускается до p2 при 3V1, изобара 2→3→4 на уровне p2 влево до V1, вертикальный участок 4→1 вверх; стрелки показывают направление обхода. — Рис. 23

Массу впрыснутой воды найдем из уравнения состояния, например, для точки 2, в которой точно нет жидкой фазы:

p_2V_2 = \frac{m}{\mu}RT_2, \qquad m = \frac{P_2V_2\mu}{RT_2} = \frac{3P_1V_1\mu}{2RT_1} \approx 19\ \text{г}.

Работа пара в цикле равна сумме работ на каждом участке:

A = A_{11'} + A_{1'2} + A_{234} + A_{41}.

В точке $1'$ вода полностью испаряется, а на участке $1' - 2$ пар ведет себя как идеальный газ, при этом объем в точке $1'$ равен $3V_1/2$ , что следует из уравнений состояния, записанных для точек $1'$ и 2. Имеем:

A_{11'} = P_1\left(\frac{3}{2}V_1 - V_1\right) = \frac{1}{2}P_1V_1, \qquad A_{1'2} = \frac{m}{\mu}RT_1\ln\frac{3V_1}{\frac{3}{2}V_1} = \frac{3}{2}P_1V_1\ln 2,

A_{234} = -\frac{P_1}{2}(3V_1 - V_1) = -P_1V_1, \qquad A_{41} = 0.

Отсюда $A = \frac{1}{2}P_1V_1(3\ln 2 - 1) \approx 1$ кДж.

Оригинал в Архива: ok02T.pdf