ВсОШ 2003, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 1. Удаляющийся камень

• $\sin\alpha < \sqrt{\frac{8}{9}} \approx 0{,}94, \quad \alpha < 70{,}5^{\circ}$

Движение камня описывается следующими соотношениями:

Камень удалится на максимальное расстояние от места бросания, когда вектор скорости будет перпендикулярен радиусу-вектору $\vec r$. При этом должно выполнено соотношение (рис. 10):

Подставляя сюда выражения для $x$, $y$, $v_x$ и $v_y$, получим квадратное уравнение относительно времени $t$:

Если дискриминант этого уравнения отрицателен, то не существует такого момента времени $t$, когда векторы $\vec v$ и $\vec r$ перпендикулярны друг другу, а следовательно, брошенный камень будет все время удаляться от места бросания.