Съдържание

ВсОШ 2003, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 2. Поплавок в центрифуге

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2003

XXXVII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие

Условие

На горизонтальной платформе стоит сосуд с водой. В сосуде закреплен тонкий стержень $AB$ , наклоненный к горизонту под углом $\alpha$ (рис. 1). Шар радиусом $R$ может скользить без трения вдоль стержня, проходящего через его центр. Плотность шара $\rho_0$ , плотность воды $\rho$ $(\rho_0 < \rho)$ . При вращении системы с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси $OO'$ , проходящей через нижний конец $A$ стержня, центр шара устанавливается на расстоянии $l$ от этого конца.

Сосуд с водой на платформе; вертикальная штрихпунктирная ось OO' проходит через нижний конец A наклонного стержня AB, образующего угол α с горизонтом; на стержень надет шар радиуса R; стрелка показывает вращение вокруг оси. — Рис. 1

1. С какой силой $N$ шар действует на стержень?

2. Найдите угловую скорость $\omega$ вращения платформы.

3. При какой минимальной угловой скорости вращения $\omega_{min}$ шар «утонет» и окажется на дне сосуда?

Воды достаточно, так что шар всегда полностью погружен в воду.

Отговори

Решение

Пусть объем шара равен $V$ , его масса $\rho_0 V$ . На шар действуют сила тяжести $\rho_0 Vg$ , сила $N$ со стороны стержня, сила Архимеда, которую для удобства разложим на вертикальную и горизонтальную составляющие $F_{Ax}$ и $F_{Ay}$ (рис. 11). Ускорение шара направлено к оси вращения и равно $a = \omega^2 l\cos\alpha$ . Запишем уравнения движения для шара в проекциях на оси $x$ и $y$ :

F_{Ax} - N\sin\alpha = \rho_0 Va,

Шар на наклонном стержне AB (угол α); силы: F_Ay вверх, F_Ax и ускорение a горизонтально к оси, ρ0Vg и ρVg вниз, N перпендикулярно стержню; штриховой окружностью показано нижнее положение шара, отмечен радиус-вектор r; оси x, y. — Рис. 11

F_{Ay} - \rho_0 Vg - N\cos\alpha = 0.

Мысленно удалим шар и заполним объем, который он занимал, водой. Водяной шар должен находиться в равновесии внутри жидкости и вращаться вместе с ней. Сила Архимеда $F_{\text{А}}$ , действующая на водяной шар, и ее проекции на оси $x$ и $y$ остаются прежними, а сила, действующая на водяной шар со стороны стержня, равна нулю. Запишем для водяного шара уравнения движения в проекциях на оси $x$ и $y$ :

F_{Ax} = \rho Va, \qquad F_{Ay} - \rho Vg = 0.

Из записанных уравнений находим силу $N$ и угловую скорость $\omega$ :

N = \frac{(\rho - \rho_0)Vg}{\cos\alpha}, \qquad \omega = \sqrt{\frac{g\sin\alpha}{l\cos^2\alpha}} = \sqrt{\frac{g\,\mathrm{tg}\,\alpha}{l\cos\alpha}}.

С такой же силой $N$ шар действует на стержень.

Из анализа полученной зависимости между $\omega$ и $l$ следует, что с увеличением $\omega$ расстояние $l$ уменьшается. Шар «утонет» при угловой скорости, соответствующей $l = R/\sin\alpha$ :

\omega_{\min} = \mathrm{tg}\,\alpha\sqrt{\frac{g}{R}}.

Оригинал в Архива: final03T.pdf