Съдържание

ВсОШ 2003, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 14. Нелинейный элемент

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2003

XXXVII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие

Условие

В цепи (рис. 8) электродвижущая сила источника $\mathscr{E} = 12$ В, сопротивление резистора $R = 4$ Ом, индуктивность катушки $L = 0{,}5$ Гн, а нелинейный элемент Э имеет известную вольт-амперную характеристику $I(U)$ (рис. 9). В начальный момент ключ К разомкнут, ток в катушке не течет.

Схема: нелинейный элемент Э (полярность + и −) параллельно катушке L; эта пара последовательно с ключом К, источником и резистором R. — Рис. 8

Вольт-амперная характеристика нелинейного элемента: ток I равен нулю при U меньше U0 = 4 В и вертикальный скачок при U = U0; оси I и U. — Рис. 9

1. Какое количество теплоты $Q_{\text{э}}$ выделится на нелинейном элементе после замыкания ключа?

2. Построить качественный график зависимости тока в катушке от времени.

Внутренним сопротивлением источника пренебречь. Укажите характерные точки на графике.

Отговори

Решение

После замыкания ключа через резистор будет течь ток

I_0 = \frac{\mathscr{E} - U_0}{R}. \qquad (1)

Такой же ток в начальный момент течет через элемент Э. Ток в катушке $L$ будет меняться со временем по линейному закону, пока не достигнет значения $I_0$ . В самом деле:

U_0 = L\frac{\Delta I}{\Delta t}, \qquad \text{откуда} \qquad I_L = \frac{U_0}{L}t. \qquad (2)

В момент времени $t = \tau$ ток через катушку $I_L = I_0$ , следовательно,

\tau = \frac{LI_0}{U_0} = \frac{L}{R}\frac{(\mathscr{E} - U_0)}{U_0}.

В этот момент ток через элемент Э прекращает течь. В промежуток времени $0 < t < \tau$ ток в элементе Э нетрудно найти, принимая во внимание соотношения (1) и (2):

I_{\text{Э}} = I_0 - I_L = \frac{\mathscr{E} - U_0}{R} - \frac{U_0}{L}t \qquad (0 < t < \tau),

I_{\text{Э}} = 0 \qquad (t \ge \tau).

Таким образом, зависимость тока от времени будет иметь вид, представленный на рисунке 23. Из графика находим заряд $q_{\text{э}}$ , протекающий через нелинейный элемент:

q_{\text{э}} = \frac{1}{2}I_0\tau = \frac{1}{2}\frac{(\mathscr{E} - U_0)^2}{U_0}\cdot\frac{L}{R^2}.

График тока через элемент I_э от времени t: линейное убывание от I0 до нуля в момент τ, далее ноль; заштрихованный треугольник — заряд q_э. — Рис. 23

С учетом этого нетрудно найти искомое количество теплоты

Q_{\text{э}} = q_{\text{э}}U_0 = \frac{L}{2}\left(\frac{\mathscr{E} - U_0}{R}\right)^2 = 1\ \text{Дж}.

Как уже было сказано, сила тока в катушке в промежутке времени от 0 до $\tau = 0{,}25$ с линейно возрастает от нуля до значения $I_0 = 2$ А. При $t > \tau$ ток через нелинейный элемент не течет, а в катушке возрастает, стремясь асимптотически к значению $I_\infty = 3$ А.

Зависимость тока через катушку от времени представлена на рисунке 24.

График тока в катушке I_L, А от времени t, с: линейный рост от 0 до 2 А за 0,25 с, затем асимптотическое приближение к 3 А; отметки 0,25; 0,5; 0,75; 1 по оси t. — Рис. 24

Оригинал в Архива: final03T.pdf