Съдържание

ВсОШ 2003, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 13. Заряженная частица в магнитном поле

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2003

XXXVII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие

Условие

В неоднородном магнитном поле с индукцией $B = \alpha x$ $(x \ge 0)$ (рис. 7) стартует частица массой $m$ и зарядом $q$ с начальной скоростью $v$ , направленной вдоль оси $Ox$ . Определите максимальное смещение $x_{max}$ частицы вдоль оси $x$ .

Оси x (вверх) и y (вправо) с началом O; область с крестиками — магнитное поле B, направленное от наблюдателя; частица стартует со скоростью v вдоль оси x. — Рис. 7

Отговори

Решение

Единственная действующая на частицу сила — сила Лоренца — направлена перпендикулярно скорости частицы, поэтому работы не совершает, то есть энергия частицы (а значит, и ее скорость) сохраняется: $v_x^2 + v_y^2 = v^2$ .

Закон Ньютона для частицы в проекции на ось $Oy$ в произвольный момент времени (рис. 22) имеет вид:

m\frac{dv_y}{dt} = F_{\text{л}}\cos\alpha.

Вектор скорости v частицы под углом α к вертикали и перпендикулярная ему сила Лоренца F_л под углом α к горизонтали; поле B направлено от наблюдателя (⊗); оси x (вверх) и y (влево). — Рис. 22

Сила Лоренца $F_{\text{л}} = Bqv$ . Тогда

m\frac{dv_y}{dt} = Bqv\cos\alpha = Bqv_x = \alpha xqv_x.

Умножим выражение на $dt$ :

mdv_y = \alpha qxv_x dt = \alpha qxdx.

После интегрирования получим:

m(v_y - v_{0y}) = \alpha q\left(\frac{x^2}{2} - \frac{x_0^2}{2}\right).

Начальная скорость по оси $Oy$ равна 0, $x_0 = 0$ , следовательно:

mv_y = \alpha qx^2/2. \qquad (1)

Когда удаление частицы вдоль оси $Ox$ максимально, проекция скорости частицы на ось $Ox$ равна 0. Поскольку скорость частицы постоянна, при максимальном удалении $|v_y| = v$ . Если заряд частицы положителен, то согласно (1) скорость $v_y = v$ , а если отрицателен, то $v_y = -v$ , откуда

mv = \frac{1}{2}\alpha|q|x_{max}^2, \qquad x_{max} = \sqrt{\frac{2mv}{\alpha|q|}}.

Оригинал в Архива: final03T.pdf