ВсОШ 2003, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 12. Глюк продолжает исследования

• 1. $C_p = C_v\frac{\Delta p_2}{\Delta p_1}$
• 2. $C_p = C_v\frac{\Delta p_2}{\Delta p_1}$

1. Для идеального газа известны уравнения изотермы ($pV = \mathrm{const}$) и адиабаты ($pV^{\gamma} = \mathrm{const}$, $\gamma = C_p/C_v$), из которых дифференцированием легко получить, что в точке пересечения изотермы и адиабаты наклон адиабаты в $\gamma$ раз больше:

откуда

2. Покажем, что формула (1), а следовательно, и (2), справедлива и для произвольного вещества.

Рассмотрим бесконечно малый участок $pV$-диаграммы (рис. 20). Проведем из одной точки 2 изотерму 2–3, адиабату 2–5 и «изоэргу» 2–4 — процесс, в котором внутренняя энергия остается постоянной. Бесконечно малые участки этих кривых можно считать прямолинейными. Нужно доказать, что

а). Зависимость внутренней энергии $U$ от давления $p$ при постоянном объеме $V$ (вдоль изохоры 1–5) для произвольного вещества имеет некоторый сложный вид, но на бесконечно малом участке 1–5 ее можно считать линейной, поэтому

и вместо соотношения (3) достаточно доказать, что

б). Введем обозначение $\Delta T = T_2 - T_1 = T_3 - T_1$. По определению $C_v$ имеем:

в). Для процесса 1–2 первое начало термодинамики дает

В силу бесконечной малости $\Delta V$ работы $A_{12}$, $A_{32}$, $A_{42}$ и $A_{52}$ можно считать равными (точнее, разность любых двух из них пропорциональна $(\Delta V)^2$ и поэтому является мелочью более высокого порядка, чем сами работы), и, учитывая, что $U_2 = U_4$ (лежат на «изоэрге»), формулу (6) можно переписать в виде

г). Первое начало для адиабатического процесса 5–2 дает

Подставляя (8) в (7), получим:

Разделив (9) на (5), получаем (4).