Съдържание

ВсОШ 2003, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11. Теплоемкость газа

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2003

XXXVII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие

Условие

С молем идеального газа произвели замкнутый цикл (рис. 6), где 3–1 — адиабата. Определите максимальное давление газа за цикл $p_{\max}$ , его теплоемкость $C_V$ при постоянном объеме и вычислите (с точностью большей, чем дает прямое измерение по графику) «тангенс» угла (К/м $^3$ ) между изотермой и адиабатой в точке 1 на $(T,V)$ плоскости.

Цикл на миллиметровой сетке в осях T, К (0–700) и V, м³ (0–9): точка 1 (V = 2, T = 700), точка 2 (V = 8, T = 700), точка 3 (V = 8, T = 400); 1–2 горизонталь, 2–3 вертикаль, 3–1 кривая адиабаты. — Рис. 6

Отговори

Решение

На $(T,V)$ плоскости изобара имеет вид прямой линии, выходящей из начала координат, так как из закона Менделеева-Клапейрона $p = RT/V$ . Тангенс угла наклона изобары $\mathrm{tg}\,\theta = p/R$ . Из графика (рис. 19) видно, что изобара с наибольшим наклоном проходит через точку 1.

Цикл рис. 6 в осях T, К и V, м³ с построениями: изобара из начала координат через точку 1 под углом θ; угол φ между изотермой и адиабатой в точке 1; вспомогательные точки 2′ и 3′; заштрихованные площади S1 (под адиабатой до оси V) и S2 (слева от адиабаты до оси T). — Рис. 19

Отсюда $p_{\max} = R\,\mathrm{tg}\,\theta = 2{,}9$ кПа. Рассмотрим адиабатический процесс 3–1:

\Delta Q = p\Delta V + C_V\Delta T, \qquad \text{откуда} \qquad p\Delta V = -C_V\Delta T.

Подставив сюда выражение для $p$ , получим

T\Delta V = -\frac{C_V}{R}V\Delta T.

Просуммируем это равенство вдоль адиабаты 1–3. Выражения $\sum T\Delta V$ и $\sum V\Delta T$ численно равны площадям $S_1$ и $S_2$ на графике (рис. 19). Отсюда

C_V = \frac{S_1}{S_2}R = (20{,}5 \pm 0{,}2)\ \text{Дж/(моль}\cdot\text{К)}.

Уравнение адиабаты для идеального газа:

TV^{\gamma-1} = C, \qquad \text{откуда} \qquad T = CV^{1-\gamma},

где $C$ — некоторая константа. Продифференцируем это выражение по $V$ :

\frac{dT}{dV} = C(1-\gamma)V^{-\gamma}, \qquad \text{или после преобразований} \qquad \frac{dT}{dV} = -\frac{p}{C_V}.

Искомый тангенс угла наклона адиабаты

\mathrm{tg}\,\varphi = \frac{p_{\max}}{C_V} = (141{,}8 \pm 1{,}4)\ \text{К/м}^3.

Примечание. Задача может быть решена и без использования уравнения адиабатического процесса.

Оригинал в Архива: final03T.pdf