Съдържание

ВсОШ 2003, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10. Шарнирная конструкция

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2003

XXXVII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие

Условие

Конструкция (рис. 5) состоит из трех одинаковых маленьких шариков массой $m$ каждый, шарнирно соединенных легкими спицами длины $l$ . В положении равновесия конструкция удерживается вертикальной пружиной жесткости $k$ и имеет форму квадрата.

Квадрат из четырех спиц длины l, подвешенный верхней вершиной к шарниру на потолке; в боковых и нижней вершинах шарики массы m; между верхней точкой подвеса и нижним шариком — вертикальная пружина. — Рис. 5

1. Найдите длину $l_0$ недеформированной пружины.

2. Пусть нижний шарик смещен по вертикали (вверх или вниз) на малое (по сравнению с $l$ ) расстояние $x$ . Определите изменение $\Delta E_{\text{пот}}$ потенциальной энергии системы.

3. Пусть нижнему шарику сообщена вертикально направленная скорость $v$ . Определите кинетическую энергию $\Delta E_{\text{кин}}$ системы.

4. Определите период $T$ малых вертикальных колебаний нижнего шарика.

Отговори

Решение

Рассмотрим силы, действующие на «боковые» шарики при равновесии (рис. 17). Верхние спицы растянуты, а нижние сжаты одинаковыми по модулю силами. На нижний шарик действует упругая сила пружины $F = 2mg$ (рис. 18).

Боковой шарик: силы натяжения спиц N1 и N2 направлены вдоль спиц (штриховой квадрат), сила тяжести mg вниз. — Рис. 17

Нижний шарик: вверх направлена сила пружины F, вниз — mg, вдоль нижних спиц — силы N'1 и N'2. — Рис. 18

kx_0 = 2mg, \qquad x_0 = \frac{2mg}{k}; \qquad l_0 = \sqrt{2}l - x_0,

где $x_0$ — удлинение пружины.

Сместим нижний шарик вниз на расстояние $x \ll l$ . Тогда боковые шарики сместятся на $x/2$ . Изменение потенциальной энергии:

\Delta E_{\text{пот}} = \frac{k(x + x_0)^2}{2} - \frac{kx_0^2}{2} - mgx - 2mg\frac{x}{2} = \frac{kx^2}{2}.

Пусть нижнему шарику сообщена скорость $v$ , направленная вертикально. Тогда боковые шарики приобретут скорость $v/2$ в вертикальном направлении и такую же скорость в горизонтальном направлении. Полная скорость каждого шарика окажется равной $v\cdot\sqrt{2}/2 = v/\sqrt{2}$ . Следовательно,

\Delta E_{\text{кин}} = \frac{mv^2}{2} + 2\cdot\frac{mv^2}{2\cdot 2} = mv^2.

Изменение энергий: $\Delta E_{\text{пот}} = kx^2/2 = Ax^2$ , $\Delta E_{\text{кин}} = mv^2 = Bv^2$ , откуда

\omega_0^2 = \frac{A}{B} = \frac{k}{2m}, \qquad T = \frac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi\sqrt{\frac{2m}{k}}.

Примечание. Докажем формулу $\omega_0^2 = A/B$ . Пусть $x = a\cos\omega_0 t$ , тогда

v = \frac{dx}{dt} = -a\omega_0\sin\omega_0 T.

Полная энергия: $E = Ax^2 + Bv^2 = Aa^2\cos^2\omega_0 t + Ba^2\omega_0^2\sin^2\omega_0 t = \mathrm{const}$ , не зависит от $t$ . Следовательно,

Aa^2 = Ba^2\omega_0^2, \qquad \omega_0^2 = \frac{A}{B}.

Оригинал в Архива: final03T.pdf