Съдържание

ВсОШ 2003, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9. Мигалка

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2003

XXXVII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие

Условие

В цепи (рис. 4) переключатель $K$ находится в среднем (разомкнутом) положении, а конденсаторы $C_1$ и $C_2$ одинаковой емкости $C$ незаряжены. В некоторый момент переключатель замыкают в одно из положений. После установления равновесия в цепи его перебрасывают в противоположное положение. Найдите отношение $Q_{L_1}/Q_{L_2}$ теплот, выделившихся на лампах накаливания $L_1$ и $L_2$ после многократного повторения переключений. Источники тока с ЭДС $\mathscr{E}$ , $2\mathscr{E}$ и $3\mathscr{E}$ считать идеальными.

Схема: верхняя ветвь — источник ℰ и конденсатор C1, средняя — источник 2ℰ и конденсатор C2, нижняя — источник 3ℰ; слева лампы L1 (между верхней и средней ветвями) и L2 (между средней и нижней); справа переключатель K с двумя положениями. — Рис. 4

Отговори

Решение

Найдем общее количество теплоты $Q$ , которое выделится в схеме. Начальная энергия конденсаторов $W_0 = 0$ . После большого количества переключений установится равновесное состояние (рис. 15). Конечная энергия конденсаторов

Схема рис. 4 в равновесном состоянии: конденсатор C1 заряжен до 2ℰ, C2 — до ℰ, показаны знаки зарядов обкладок (− и +); лампы L1, L2, источники ℰ, 2ℰ, 3ℰ. — Рис. 15

W_1 = \frac{1}{2}C(2\mathscr{E})^2 + \frac{1}{2}C\mathscr{E}^2 = \frac{5}{2}C\mathscr{E}^2.

Заряды $q_1$ , $q_2$ и $q_3$ , протекшие через источники $\mathscr{E}$ , $2\mathscr{E}$ и $3\mathscr{E}$ , накопятся на пластинах конденсаторов, подключенных к соответствующим источникам тока:

q_1 = -2C\mathscr{E}, \qquad q_2 = -C\mathscr{E}, \qquad q_3 = +3C\mathscr{E}.

Суммарная работа источников

A = \mathscr{E}q_1 + 2\mathscr{E}q_2 + 3\mathscr{E}q_3 = 5C\mathscr{E}^2.

Из закона сохранения энергии $W_0 + A = W_1 + Q$ находим $Q = 5C\mathscr{E}^2/2$ .

При каждом замыкании переключателя в нижнее положение конденсатор $C_2$ заряжается до напряжения $\mathscr{E}$ . Рассмотрим процессы, происходящие в верхней половине схемы после переброса переключателя в верхнее положение (рис. 16). Пусть после $n$ -го замыкания переключателя в верхнее положение на конденсаторах $C_1$ и $C_2$ установились напряжения $U_n$ и $U'_n$ . Тогда из закона сохранения заряда

Верхняя половина схемы после переброса переключателя в верхнее положение: источник ℰ и конденсатор C1, источник 2ℰ и конденсатор C2, лампа L1; знаки зарядов обкладок. — Рис. 16

CU_{n-1} + C\mathscr{E} = CU_n + CU'_n

и второго правила Кирхгофа

2\mathscr{E} - \mathscr{E} = U_n - U'_n

находим $U_n = \mathscr{E} + U_{n-1}/2$ , $U'_n = U_n - \mathscr{E}$ .

Изменение энергии конденсаторов:

\Delta W_n = \left(\frac{1}{2}CU_n^2 + \frac{1}{2}C{U'_n}^2\right) - \left(\frac{1}{2}CU_{n-1}^2 + \frac{1}{2}C\mathscr{E}^2\right).

Работа источников $A_n = (2\mathscr{E} - \mathscr{E})(CU_n - CU_{n-1})$ . Из закона сохранения энергии находим теплоту, выделившуюся на лампе $L_1$ за одно включение верхней части схемы:

Q_n = A_n - \Delta W_n = C(2\mathscr{E} - U_n)^2.

Подставив сюда $U_n = \mathscr{E} + U_{n-1}/2$ , заметим, что

Q_n = C(2\mathscr{E} - U_n)^2 = C\left(\frac{2\mathscr{E} - U_{n-1}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}Q_{n-1}.

Найдем теплоту, которая выделится на лампе $L_1$ . Возможны два случая.

3a. В первый раз переключатель перевели в нижнее положение.

Тогда $U_0 = 0$ , откуда

Q_1 = C\mathscr{E}^2, \qquad Q_{L_1} = Q_1\left(1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{4^3} + \ldots\right) = \frac{4}{3}C\mathscr{E}^2.

Искомое отношение

\frac{Q_{L_1}}{Q_{L_2}} = \frac{Q_{L_1}}{Q - Q_{L_1}} = \frac{8}{7}.

3b. В первый раз переключатель перевели в верхнее положение. При этом на резисторе $L_1$ выделилось тепло $Q_0 = C\mathscr{E}^2/4$ , а на верхнем конденсаторе установилось напряжение $U_0 = \mathscr{E}/2$ , откуда

Q_1 = \frac{9}{16}C\mathscr{E}^2, \qquad Q_{L_1} = Q_0 + Q_1\left(1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{4^3} + \ldots\right) = C\mathscr{E}^2.

Искомое отношение

\frac{Q_{L_1}}{Q_{L_2}} = \frac{Q_{L_1}}{Q - Q_{L_1}} = \frac{2}{3}.

Оригинал в Архива: final03T.pdf