Съдържание

ВсОШ 2003, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 8. Электрический ток вместо лопаты

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2003

XXXVII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие

Условие

В 1899 году выдающийся американский физик Роберт Вуд оригинально решил сложную техническую проблему, за что институт, в котором он работал, сразу получил премию в 200000 долларов. Придуманное им «электротаяние» широко используют и сейчас.

Однажды во время сильного мороза в проложенной под землей к дому сенатора железной трубе длиной $l = 100$ метров на участке длиной $l_1 \approx 5$ метров замерзла вода, и водопровод перестал работать. Вуд предложил подсоединить к концам трубы провода от вторичной обмотки понижающего трансформатора, и через $t = 10$ минут после подключения из крана полилась вода. Какое примерно напряжение $U$ было приложено к концам трубы, и какая сила тока $I$ была в ней? Как изменилось бы время отогрева, если бы длина замерзшего участка была в 2 раза больше?

Диаметры трубы: внутренний $D_1 = 20$ мм, наружный $D_2 = 26$ мм. Для железа: плотность $d_{\text{ж}} = 7{,}8$ г/см $^3$ , удельная теплоемкость железа $c_{\text{ж}} = 0{,}45$ кДж/(кг $\cdot$ К), удельное сопротивление $\rho_{\text{ж}} = 0{,}1$ Ом $\cdot$ мм $^2$ /м. Для льда: плотность $d_{\text{л}} = 0{,}9$ г/см $^3$ , удельная теплоемкость $c_{\text{л}} = 2{,}1$ кДж/(кг $\cdot$ К), удельная теплота плавления $\lambda = 340$ кДж/кг.

Примечание. Для упрощения решения можно считать, что снаружи трубы также находится замерзшая вода.

Отговори

Решение

Масса находящегося в трубе льда $m = d_{\text{л}}l_1\pi D_1^2/4$ . Чтобы расплавить лед, замерзший в трубе, необходима энергия $Q_1 = \lambda m$ . Передачей теплоты вдоль трубы можно пренебречь, так как ее длина много больше диаметра. На нагревание льда и трубы затрачено много меньше теплоты, чем на плавление льда, поэтому в приближенных расчетах энергией, пошедшей на нагревание трубы и льда, можно пренебречь. Площадь наружной поверхности трубы в 1,3 раза больше площади внутренней поверхности, поэтому теплота, отданная наружной поверхностью трубы, будет в то же число раз больше теплоты, пошедшей на плавление льда: $Q_2 = 1{,}3\lambda m$ . Все тепло, отданное замерзшему участку за время таяния:

Q = Q_1 + Q_2 = 2{,}3\lambda m.

Работа электрического тока на этом участке

A_1 = \frac{U_1^2 t}{R} = \frac{U_1^2 St}{\rho_{\text{ж}}l_1} = \frac{U_1^2\pi(D_2^2 - D_1^2)t}{\rho_{\text{ж}}l_1\cdot 4},

Q = A_1, \qquad \frac{2{,}3\lambda\pi D_1^2 l_1 d_{\text{л}}}{4} = \frac{U_1^2\pi(D_2^2 - D_1^2)t}{4\rho_{\text{ж}}l_1},

U_1 = l_1 D_1\sqrt{\frac{2{,}3\lambda d_{\text{л}}\rho_{\text{ж}}}{(D_2^2 - D_1^2)t}}.

Напряжение на концах всей трубы будет в 20 раз больше:

U = lD_1\sqrt{\frac{2{,}3\lambda d_{\text{л}}\rho_{\text{ж}}}{(D_2^2 - D_1^2)t}} \approx 41\ \text{В}, \qquad I = \frac{U}{R} = \frac{\pi D_1}{4}\sqrt{\frac{2{,}3\lambda d_{\text{л}}(D_2^2 - D_1^2)}{\rho_{\text{ж}}t}} \approx 890\ \text{А}.

Отсюда видно, что время отогрева трубы не зависит от длины участка замерзшей воды.

Оригинал в Архива: final03T.pdf