Съдържание

ВсОШ 2003, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 7. «Водородная бомба»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2003

XXXVII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие

Условие

Водород находится в стальном сферическом контейнере высокого давления («бомбе»). Плотность стали $\rho = 7{,}8\cdot 10^3$ кг/м $^3$ , предел прочности $\sigma = 5\cdot 10^8$ Н/м $^2$ . Водород из контейнера заполняет легкую растяжимую оболочку воздушного шара при неизменной температуре $T = 300$ К. Может ли этот воздушный шар поднять сферический контейнер, в котором водород находился ранее?

Универсальная газовая постоянная $R = 8{,}3$ Дж/(моль $\cdot$ К), молярную массу воздуха примите равной $29\cdot 10^{-3}$ кг/моль.

При расчете весом водорода и оболочки шара можно пренебречь.

Отговори

Решение

Максимальное давление газа в сферической оболочке может быть найдено из условия равновесия двух полусферических частей оболочки (внешнее давление $p_0 \ll p$ ).

Обе половинки оболочки расталкиваются за счет давления газа внутри силами $\pi R_0^2 p$ (рис. 14). Поэтому

Сферическая оболочка радиуса R0 с толщиной стенки d, рассеченная по экватору (заштрихованное кольцо); внутри давление P, снаружи P0; отмечены σ (напряжение в стенке) и ρ (плотность стали). — Рис. 14

\pi R_0^2 p \le 2\pi R_0 d\sigma.

Если газ (водород) поступает в легкую растяжимую оболочку воздушного шара, его давление падает до атмосферного давления $p_0$ (температура $T$ предполагается неизменной). Объем шара становится равным

V = \frac{4\pi R_0^3}{3}\frac{p}{p_0}.

Вес стальной сферической оболочки по условию не должен превышать выталкивающей силы:

4\pi R_0^2 d\rho g \le \frac{4\pi R_0^3}{3}\frac{p}{p_0}\rho_{\text{возд}}g.

Из этих соотношений следует:

\frac{\sigma}{\rho} \ge \frac{3p_0}{2\rho_{\text{возд}}} = \frac{3}{2}\frac{RT}{\mu_{\text{возд}}}.

Здесь $R$ — универсальная газовая постоянная, $\mu_{\text{возд}}$ — средняя молярная масса воздуха, $T = 300$ К — температура воздуха. Числовой расчет показывает, что это условие не выполняется:

\left(\frac{\sigma}{\rho}\right)_{\text{сталь}} \approx 0{,}63\cdot 10^5\ \frac{\text{Н}\cdot\text{м}}{\text{кг}}, \qquad \frac{3}{2}\frac{RT}{\mu_{\text{возд}}} \approx 1{,}3\cdot 10^5\ \frac{\text{Н}\cdot\text{м}}{\text{кг}}.

Оригинал в Архива: final03T.pdf