ВсОШ 2003, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 6. Ковер-самокат

• $v = \sqrt{\rho ghl/m}$

Уменьшение потенциальной энергии ковра идет на увеличение кинетической энергии валиков и на выделение теплоты, так как при раскручивании валика происходит проскальзывание. Закон изменения скорости $u$ точек обода валика найдем, приравнивая работу раскручивающей силы трения $F$ изменению кинетической энергии валика:

Время раскручивания точек обода валика до скорости $v$ равно $\tau = mv/F$. За это время тормозящая сила $F$ совершает над ковром работу $Fv\tau = mv^2$.

За время $t$ ковер проедет расстояние $vt$ и раскрутит $N = vt/l$ валиков. При этом потенциальная энергия ковра уменьшится на $gh\Delta m$, где $\Delta m = \rho vt$ — масса части ковра, «исчезнувшей» вверху и «появившейся» внизу. Из закона сохранения энергии $gh\Delta m = Nmv^2$ находим $v = \sqrt{\rho ghl/m}$.