Съдържание

ВсОШ 2003, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 5. «Плоская» Земля

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2003

XXXVII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие

Условие

В древние времена люди считали Землю плоской. Вообразим, что Земля действительно не является шаром радиуса $R = 6370$ км, а представляет собой безграничный плоский слой толщины $H$ . Предполагая, что плотность Земли постоянна и одинакова в обеих моделях, определите, при какой толщине «плоской» Земли ускорение свободного падения на ее поверхности оказалось бы таким же, как и на поверхности реальной Земли.

Примечание. Можно использовать аналогию между электростатическим и гравитационным полями.

Отговори

Решение

Закон всемирного тяготения и закон Кулона имеют одинаковый вид:

F_{\text{эл}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Qq}{r^2}; \qquad F_{\text{гр}} = G\frac{Mm}{r^2}.

Эти выражения позволяют установить аналогию между электрическими и «гравитационными» величинами:

\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \quad \text{соответствует} \quad G;

Q \quad \text{соответствует} \quad M;

E_{\text{эл}} = \frac{F_{\text{эл}}}{q} \quad \text{соответствует} \quad E_{\text{гр}} = \frac{F_{\text{гр}}}{m};

\rho_{\text{эл}} = \frac{Q}{V} \quad \text{соответствует} \quad \rho_{\text{гр}} = \frac{M}{V}.

Напряженность электрического $E_{\text{эл}}$ и гравитационного $E_{\text{гр}}$ полей вблизи плоского заряженного слоя и плоского слоя с равномерно распределенной гравитационной массой должны выражаться аналогичными соотношениями. Для плоского слоя толщины $H$ :

\sigma_{\text{эл}} = \rho_{\text{эл}}\cdot H, \qquad \sigma_{\text{гр}} = \rho_{\text{гр}}\cdot H.

По аналогии напряженности электрического $E_{\text{эл}}$ и гравитационного $E_{\text{гр}}$ полей вблизи плоского заряженного слоя и плоского слоя с распределенной гравитационной массой должны выражаться сходными соотношениями:

E_{\text{эл}} = \frac{\sigma_{\text{эл}}}{2\varepsilon_0} = \frac{\rho_{\text{эл}}H}{2\varepsilon_0}, \qquad (E_{\text{гр}})_{\text{пл}} = \frac{\sigma_{\text{гр}}}{2\cdot 1/(4\pi G)} = 2\pi G\rho_{\text{гр}}H.

Напряженность гравитационного поля на поверхности сферической земли равна

(E_{\text{гр}})_{\text{сф}} = G\frac{4\pi R^3\rho_{\text{гр}}}{3R^2} = \frac{4}{3}\pi G\rho_{\text{гр}}R.

Отсюда следует, что ускорения свободного падения в моделях плоской и сферической Земли будут одинаковыми при условии

(E_{\text{гр}})_{\text{пл}} = (E_{\text{гр}})_{\text{сф}},

следовательно,

H = \frac{2}{3}R \approx 4250\ \text{км}.

Примечание. Задачу, разумеется, можно решить, применяя к гравитационному полю теорему Гаусса.

Оригинал в Архива: final03T.pdf