ВсОШ 2003, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 4. Нагревание и остывание проволоки

• 1. 3 мин
• 2. 89 A
• 3. 16 s

1. Скорость нагревания теплоизолированного проводника можно найти по начальному участку графика $t(\tau)$, когда потерями тепла можно пренебречь. Температура теплоизолированного проводника изменялась бы линейно со временем. Значение $t = t_1 = 90^{\circ}\mathrm{C}$ было бы достигнуто через время $\tau_0 \approx 3$ мин.

2. Для начального участка графика имеем по закону Джоуля-Ленца:

где $\mathrm{tg}\,\alpha_1 = \Delta t/\Delta\tau \approx 0{,}4^{\circ}\text{C/с}$ — наклон начального участка графика, $C = cLS\rho$ — теплоемкость проволоки, $R = \rho_{\text{м}}L/S$ — ее сопротивление, а $L$ — ее длина.

Из этих соотношений получим

3. Из графика находим (рис. 13) наклон касательной при $\tau = \tau_2 = 5$ мин: $\mathrm{tg}\,\alpha_2 \approx 0{,}09^{\circ}\text{C/с} \approx 0{,}23\,\mathrm{tg}\,\alpha_1$. Это означает, что только 23% поступающей энергии идут на нагревание проводника, остальные 77% энергии уходят наружу. Отсюда следует, что тангенс угла $\alpha_3$ наклона начального участка кривой остывания при $\tau = \tau_2$ был бы равен $0{,}77\,\mathrm{tg}\,\alpha_1 \approx 0{,}3^{\circ}\text{C/с}$. На малом участке кривую остывания можно заменить касательной: $\Delta\tau = \Delta t/\mathrm{tg}\,\alpha_3 \approx 16$ с.