ВсОШ 2003, Зонален етап — Задача 9.2. 9 класс. Фокус зеркала
XXXVII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Зональный этап. Экспериментальный тур
Об источнике
МФТИ, 2002/2003 уч. г. В пособии представлены по две отдельные задачи для 9, 10 и 11 классов и возможные решения. Авторы: 9 класс — Дунин С., Крюков А.; 10 класс — Кузьмичев С., Шведов О.; 11 класс — Шведов О., Слободянин В. Общая редакция — Дунин С., Слободянин В., Чудновский А. Подписано в печать 11 марта 2003 г. Баллы, время тура и подробная разбалловка не приведены.
Условие
Параболическим называется зеркало, которое в любом сечении, проходящем через ось симметрии, имеет форму параболы. Известно, что если на такое зеркало падают лучи света параллельно оси симметрии, то после отражения все они пересекаются в одной точке, называемой фокусом. На выданном вам листе начерчен фрагмент параболы и проведены линии, вдоль которых должны падать лучи света. С помощью имеющегося оборудования найдите положение точки фокуса.
Оборудование. Лист картона формата А3, 4 булавки с круглыми головками, зеркало, линейка без делений, лист бумаги с чертежом.
Примечание к архиву. Упомянутый отдельный лист с параболой и линиями лучей в данном пособии и полном архивном каталоге 2003 года отсутствует. Он не заменен вымышленным чертежом.
Решение
Рекомендации для организаторов. Приблизительные размеры зеркала: 3 см в высоту и 5 см в ширину; зеркало должно быть снабжено подставкой, позволяющей устанавливать его на столе вертикально (можно приклеить на заднюю сторону деревянный брусочек) так, чтобы нижний край зеркала совпадал с плоскостью стола. В качестве линейки без делений ученикам можно предложить незаточенный граненый карандаш или обычную линейку, у которой деления закрыты непрозрачной клейкой лентой.
Метод нахождения фокуса следует из того, что на малом участке вблизи какой-нибудь точки, участок кривой практически совпадает с участком касательной, проведенной к кривой в этой точке. Поэтому луч, падающий в какой-нибудь точке на изогнутое зеркало, отразится от него под тем же углом, под которым он отразится от плоского зеркала, установленного в той же точке по касательной к линии, образующей поверхность изогнутого зеркала. Будем устанавливать выданное зеркало так, чтобы его плоскость как можно точнее совпадала с касательной к вычерченной параболе в точках, где парабола пересекается с проведенными параллельными линиями, и каждый раз с помощью булавок и линейки строить ход отраженного луча. Для этого надо выставить две булавки на соответствующей линии, а две — так, чтобы они были на одной прямой с изображением первых булавок в зеркале. Прямая, проведенная через точки, в которые вколоты две вторые булавки, и определит ход отраженного луча.
Из-за приблизительности определения положения плоского зеркала и неточностей построения проведенные лучи будут пересекаться в близких, но не совпадающих точках. Нарисуем окружность минимального радиуса, охватывающую все точки пересечения. Центр окружности можно принять за положение фокуса, а ее радиус — считать оценкой погрешности (более точной оценкой будет радиус окружности, включающей две трети полученных точек).
Оригинал в Архива: ok03E.pdf