Съдържание

ВсОШ 2003, Зонален етап — Задача 11.2. 11 класс. «Биения»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2003

XXXVII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Зональный этап. Экспериментальный тур

Об источнике

МФТИ, 2002/2003 уч. г. В пособии представлены по две отдельные задачи для 9, 10 и 11 классов и возможные решения. Авторы: 9 класс — Дунин С., Крюков А.; 10 класс — Кузьмичев С., Шведов О.; 11 класс — Шведов О., Слободянин В. Общая редакция — Дунин С., Слободянин В., Чудновский А. Подписано в печать 11 марта 2003 г. Баллы, время тура и подробная разбалловка не приведены.

Условие

В колебательной системе, состоящей из двух математических маятников, между маятниками существует слабая связь, осуществляемая за счет системы подвеса (рис. 3). Если в системе возбудить колебания первого маятника (например, груз $m_1$ ) в плоскости, перпендикулярной плоскости рисунка, то с течением времени амплитуда колебаний второго маятника (груз $m_2$ ) начнет возрастать, а первого — убывать. Через некоторое время $\tau$ колебания первого груза практически прекратятся, а амплитуда колебаний второго маятника станет почти такой же, какой была вначале у первого маятника.

Далее амплитуда колебаний второго маятника начнет уменьшаться, а первого — возрастать, и через время $T=2\tau$ после возбуждения колебаний амплитуды колебаний маятников станут такими же, как и в начале эксперимента. Такие периодические изменения во времени амплитуды колебаний называются биениями.

Оказывается, период $T$ биений зависит от длины $L$ подвеса математических маятников по закону: $T=AL^n$ , где $A$ — коэффициент пропорциональности, а $n$ — показатель степени.

Определите численное значение показателя степени $n$ , изменяя длину маятника от 15 см до 1 м.

Оборудование. Штатив с лапкой, планка с закрепленным на ней шнуром (рис. 5), две гайки М6 — М8 (грузы $m_1$ и $m_2$ ), нитки (три куска по 1 м), рулетка, секундомер, миллиметровая бумага.

Примечание. Штатив следует установить на край стола так, чтобы длина маятника могла достигать 1 метра.

Примечание к источнику. В списке оборудования дана ссылка «рис. 5», но изображение штатива в самом условии подписано «Рис. 4». Оба исходных обозначения сохранены.

Решение

Внимание: Непълно решение

В тексте решения есть ссылка на рисунок 10, но на всех страницах архивного пособия имеются только рисунки 1–9; отдельного рисунка 10 в полном каталоге года нет. Весь доступный текст решения сохранен.

Рекомендации для организаторов. Длина планки должна составлять $\sim60$ см. В ее края следует вбить гвоздики, к которым прикрепить шнур, который не должен провисать. В качестве шнура можно использовать капроновую нить или рыболовную леску (подойдут и обычные толстые нитки).

Подвес математического маятника делаем длиной $\sim1$ м, перекидываем его через шнур и отдельной ниткой привязываем его к шнуру (рис. 10) так, чтобы, подтягивая нить подвеса, можно было регулировать длину $L$ маятника. Для $6\div7$ значений $L$ измеряем период биений $T$ .

Прологарифмируем данную в условии зависимость $T(L)$ :

\ln T=\ln A+n\ln L,\qquad\text{откуда}\qquad n=\frac{\Delta\ln T}{\Delta\ln L}.

Легко видеть, что показатель степени равен тангенсу угла наклона графика зависимости $T$ от $L$ в координатах $\ln L$ (ось абсцисс) и $\ln T$ (ось ординат). При аккуратных измерениях получается $n=1{,}5\pm0{,}1$ .

В дополнение к приведенному решению заметим, что такое же значение $n=1{,}5$ получается и при теоретическом решении дифференциальных уравнений, описывающих колебания системы маятников. Период биений

T=\left(\frac F{amg^{3/2}}\right)L^{3/2}.

Здесь $F$ — сила натяжения шнура.

Оригинал в Архива: ok03E.pdf