Съдържание

ВсОШ 2003, Зонален етап, 9–11 клас — Задача 2. Шайба в рамке

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2003

XXXVII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Окружной этап. Теоретический тур

Условие

На горизонтальной поверхности лежит прямоугольная рамка, длинная сторона которой равна $L$ . Внутри рамки покоится маленькая шайба Ш.

Рамку начинают двигать по поверхности с постоянной скоростью $v_0$ (рис. 2). Определите интервал времени $\tau$ между двумя последовательными столкновениями шайбы с задней стенкой $AB$ рамки. Коэффициент трения между шайбой Ш и горизонтальной поверхностью равен $\mu$ , а удар шайбы о стенки рамки абсолютно упругий.

Прямоугольная рамка с вершинами $A$ (слева вверху), $D$ (справа вверху), $C$ (справа внизу), $B$ (слева внизу); над рамкой размер $L$ (длинная сторона); внутри шайба Ш (черная точка); от стенки $CD$ вправо стрелка скорости $v_0$. — Рис. 2

Отговори

Решение

Рассмотрим движение шайбы в С.О., связанной с рамкой. Пусть ось $Ox$ направлена в сторону движения рамки. В этой системе отсчета шайба будет двигаться против оси $Ox$ со скоростью $v_0$ . После упругого удара о стенку $AB$ , она изменит направление своего движения. При этом на шайбу начнет действовать сила трения $F_{tr} = \mu mg$ , где $m$ — масса шайбы. Ускорение шайбы всегда будет направлено против оси $Ox$ . Когда шайба станет двигаться против оси $Ox$ , модуль ее скорости будет увеличиваться, пока не достигнет $v_0$ . В этот момент в системе отсчета, связанной со столом, шайба остановится. Таким образом, движение шайбы будет сходно с движением в однородном поле тяжести, напряженность которого направлена против оси $Ox$ . Поскольку от стенки $AB$ шайба отлетает вправо со скоростью $v_0$ , то перед столкновением с ней она будет иметь скорость $-v_0$ . С учетом этого решение задачи сводится к стандартной процедуре. Ускорение шайбы $a = \frac{F_{tr}}{m} = \mu g$ . Возможны два случая.

Если $v_0^2/(2\mu g) < L$ , то шайба не догонит стенку $CD$ и $\tau = 2(v_0/a) = 2v_0/(\mu g)$ .
Если $v_0^2/(2\mu g) \geqslant L$ , то после упругого взаимодействия со стенкой $CD$ шайба изменит направление своего движения. Из формулы $L = v_0t - \mu gt^2/2$ найдем время движения от стенки $AB$ до $CD$ :

t_{1,2} = \frac{v_0}{\mu g} \pm \sqrt{\left(\frac{v_0}{\mu g}\right)^2 - \frac{2L}{\mu g}}.

Так как вследствие удара о стенку $CD$ время движения шайбы уменьшается, выбираем время $t_1$ со знаком «-» перед квадратным корнем. Тогда

\tau = 2t_1 = 2\frac{v_0}{\mu g}\left(1 - \sqrt{1 - \frac{2L\mu g}{v_0^2}}\right).

Обобщим оба результата:

\tau = 2v_0/(\mu g), \qquad \text{при} \qquad v_0^2/(2\mu g) < L;

\tau = 2t_1 = 2\frac{v_0}{\mu g}\left(1 - \sqrt{1 - \frac{2L\mu g}{v_0^2}}\right), \qquad \text{при} \qquad v_0^2/(2\mu g) \geqslant L.

Оригинал в Архива: ok03T.pdf