Съдържание

ВсОШ 2003, Зонален етап, 9–11 клас — Задача 3. «Разные, но равные»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2003

XXXVII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Окружной этап. Теоретический тур

Условие

В электрических цепях (рис. 3 и 4) сопротивления $R_{AB}$ (между зажимами $A$ и $B$ ) и $R_{CD}$ (между зажимами $C$ и $D$ ) равны, сопротивления резисторов $R_1$ , $R_2$ и $R_3$ заданы. Найдите все возможные значения сопротивления $R_x$ .

Мостовая схема между зажимами $A$ и $B$: верхняя ветвь — резисторы $R_1$ и $R_3$, нижняя — $R_x$ и $R_x$, между средними точками ветвей — перемычка $R_2$. — Рис. 3

Мостовая схема между зажимами $C$ и $D$: верхняя ветвь — резисторы $R_1$ и $R_x$, нижняя — $R_x$ и $R_3$, между средними точками ветвей — перемычка $R_2$. — Рис. 4

Примечание. Для всякой схемы, состоящей из трех резисторов, соединенных «треугольником» (рис. 5), существует эквивалентная схема из трех резисторов, соединенных «звездой» (рис. 6).

Соединение «треугольником»: резисторы $R_{AB}$ между точками $A$ и $B$, $R_{BC}$ между $B$ и $C$, $R_{AC}$ между $A$ и $C$. — Рис. 5

Соединение «звездой»: от точки $A$ через резистор $R_A$ к общему узлу, от которого резистор $R_B$ идет к точке $B$ и резистор $R_C$ — к точке $C$. — Рис. 6

Отговори

Решение

Наиболее просто вычислить сопротивления $R_{AB}$ и $R_{CD}$ , если соединение резисторов $R_1$ , $R_2$ и $R_x$ «треугольником» (на рис. 17 и 18 оно обведено пунктирным контуром) заменить эквивалентным соединением «звездой» (рис. 19 и 20).

Схема рис. 3 (зажимы $A$ и $B$; резисторы $R_1$, $R_3$ сверху, $R_x$, $R_x$ снизу, перемычка $R_2$), в которой треугольник из $R_1$, $R_2$ и левого $R_x$ обведен пунктирным овалом. — Рис. 17

Схема рис. 4 (зажимы $C$ и $D$; резисторы $R_1$, $R_x$ сверху, $R_x$, $R_3$ снизу, перемычка $R_2$), в которой треугольник из $R_1$, $R_2$ и левого $R_x$ обведен пунктирным овалом. — Рис. 18

Схема рис. 17 после замены треугольника звездой: от $A$ резистор $r_A$ к узлу $M$, от $M$ резисторы $r_1$ и $r_2$; $r_1$ последовательно с $R_3$, $r_2$ последовательно с $R_x$, обе ветви сходятся к $B$; звезда обведена пунктирным овалом. — Рис. 19

Схема рис. 18 после замены треугольника звездой: от $C$ резистор $r_A$ к узлу $N$, от $N$ резисторы $r_1$ и $r_2$; $r_1$ последовательно с $R_x$, $r_2$ последовательно с $R_3$, обе ветви сходятся к $D$; звезда обведена пунктирным овалом. — Рис. 20

Поскольку $R_{AB} = R_{CD}$ , то и $R_{MB} = R_{ND}$ , так как $r_A$ соединено последовательно с каждым из них:

R_{MB} = \frac{(r_1 + R_3)(r_2 + R_x)}{r_1 + r_2 + R_3 + R_x} = R_{ND} = \frac{(r_1 + R_x)(r_2 + R_3)}{r_1 + r_2 + R_3 + R_x}.

Так как в последнем уравнении знаменатели равны, то должны быть равны и числители: $(r_1 + R_3)(r_2 + R_x) = (r_1 + R_x)(r_2 + R_3)$ . После преобразований это уравнение примет вид

r_1(R_x - R_3) = r_2(R_x - R_3).

Данное равенство справедливо в двух случаях:

$R_x = R_3$ (один корень уравнения);
$r_1 = r_2$ .

Второй случай указывает на симметрию соединения «звездой», которая возможна, если исходная схема соединения «треугольником» обладает подобной симметрией, т.е. при $R_1 = R_x$ (это второй корень уравнения). Другие решения уравнения отсутствуют. Следовательно, возможны только два значения $R_x$ :

R_x = R_1 \qquad \text{и} \qquad R_x = R_3.

При внимательном анализе схем (рис. 17 и 18) оба решения можно «угадать», но их единственность не очевидна.

Оригинал в Архива: ok03T.pdf