Съдържание

ВсОШ 2003, Зонален етап, 9–11 клас — Задача 9. Конденсаторы

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2003

XXXVII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Окружной этап. Теоретический тур

Условие

Из конденсатора переменной емкости $C$ и конденсаторов постоянных емкостей $C_1$ и $C_2$ собрана цепь (рис. 10). Производятся следующие действия:

Замыкают ключ $K_1$ и изменяют емкость конденсатора $C$ .

Схема: конденсатор переменной емкости $C$ в центре; слева конденсатор $C_1$, подключаемый ключом $K_1$; справа конденсатор $C_2$, подключаемый ключом $K_2$. — Рис. 10

Размыкают ключ $K_1$ , замыкают ключ $K_2$ и изменяют емкость конденсатора $C$ .
Размыкают ключ $K_2$ и изменяют емкость конденсатора $C$ .

На графике изображена зависимость заряда $q$ на конденсаторе $C$ от разности потенциалов $U$ на нем. Начальные заряд и разность потенциалов на этом конденсаторе $q_0$ и $U_0$ , промежуточные $q_1$ и $U_1$ , $q_2 = q_0$ и $U_2$ известны. Найдите емкости конденсаторов $C_1$ и $C_2$ , матрицу начальных и конечных разностей потенциалов на них, а также изменение $\Delta W$ энергии системы конденсаторов $C_1$ и $C_2$ в описанном процессе.

График $q(U)$: замкнутый треугольник с вершинами $(U_0, q_0)$, $(U_1, q_1)$ и $(U_2, q_0)$; стрелки: от $(U_0, q_0)$ вверх-влево к $(U_1, q_1)$, затем вниз-вправо к $(U_2, q_0)$, затем по горизонтали влево обратно; пунктиром отмечены $q_0$, $q_1$, $U_1$, $U_0$, $U_2$. — Рис. 11

Отговори

Решение

Поскольку график процесса состоит из трех (а не из большего числа) прямолинейных участков, напряжение на конденсаторе $C$ не изменяется при замыкании ключей. Следовательно, для конденсатора $C_1$ напряжение $U_0$ — начальное, $U_1$ — конечное; для конденсатора $C_2$ напряжение $U_1$ — начальное, $U_2$ — конечное. Таким образом, $V_{11} = U_0$ , $V_{12} = U_1$ , $V_{21} = U_1$ , $V_{22} = U_2$ .

Найдем теперь емкости конденсаторов. Пусть конденсатор $C$ замкнут на конденсатор постоянной емкости $C'$ , где $C' = C_1$ или $C' = C_2$ (рис. 26). При медленном изменении емкости конденсатора $C$ полный заряд конденсаторов, равный сумме заряда $q$ на конденсаторе $C$ и $C'U$ на конденсаторе $C'$ , сохраняется: $Q = q + C'U = const$ . Поэтому график зависимости $q(U)$ является прямой с угловым коэффициентом $\Delta q/\Delta U = -C'$ . Отсюда

Два конденсатора $C$ (слева) и $C'$ (справа), соединенные параллельно в замкнутый контур. — Рис. 26

C_1 = \frac{q_1 - q_0}{U_0 - U_1}, \qquad C_2 = \frac{q_1 - q_0}{U_2 - U_1}.

Изменение энергии конденсаторов $C_1$ и $C_2$

\Delta W = C_1\left(\frac{U_1^2}{2} - \frac{U_0^2}{2}\right) + C_2\left(\frac{U_2^2}{2} - \frac{U_1^2}{2}\right) = \frac{1}{2}(q_1 - q_0)(U_2 - U_0)

и совпадает с площадью треугольника на графике.

Оригинал в Архива: ok03T.pdf