Съдържание

ВсОШ 2003, Зонален етап, 9–11 клас — Задача 8. Сверхтекучий маятник

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2003

XXXVII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Окружной этап. Теоретический тур

Условие

В высоком цилиндрическом сосуде радиуса $R = 4$ см с жидким гелием при температуре близкой к абсолютному нулю (так что гелий является сверхтекучим и трением можно пренебречь) вертикально плавает ареометр — пластмассовый цилиндр радиуса $r = 3{,}9$ см и массой $m = 500$ г. В результате малых колебаний ареометра уровень гелия в сосуде тоже колеблется, причем амплитуда этих колебаний $x = 1$ мм. Найдите максимальную скорость $v$ уровня поверхности гелия при этих колебаниях. Считайте, что капиллярными эффектами можно пренебречь, а плотность гелия $\rho = 122$ кг/м $^3$ .

Отговори

Решение

Пусть $L$ и $B$ — уровни гелия и нижнего основания ареометра в положении равновесия, а $L'$ и $B'$ — те же уровни при смещении ареометра (рис. 25). Высота $h$ столба гелия в равновесии определяется законом Архимеда:

\pi r^2\rho h = m,

Вертикальный разрез: ареометр (прямоугольник) в сосуде; уровни гелия $L$ и $L'$ (смещение $x$, заштрихованный пристеночный слой), нижнее основание ареометра $B$ и $B'$ (смещение $y$), высота $h$; стрелка $\vec{v}$ вверх у стенки и стрелка $\vec{u}$ вниз внутри. — Рис. 25

причем $h \gg R \gg x$ .

Для нахождения максимальной скорости $v$ смещения уровня гелия воспользуемся законом сохранения энергии. Максимальная скорость мениска будет достигаться при прохождении положения равновесия. Найдем кинетическую энергию в этот момент. Поскольку $R - r \ll R \ll h$ , определяющий вклад в кинетическую энергию системы вносит движение тонкого пристеночного слоя жидкости:

E_{\mathrm{kin}} = \frac{\pi(R^2 - r^2)h\rho v^2}{2} = \frac{(R^2 - r^2)mv^2}{2r^2}.

Действительно, $ur^2 = v(R^2 - r^2)$ и кинетическая энергия остальной жидкости и ареометра порядка

E'_{\mathrm{kin}} = \frac{mu^2}{2} + \frac{\pi R^3\rho u^2}{2} \ll E_{\mathrm{kin}}.

Аналогично, в рамках используемого приближения потенциальная энергия в положении максимального смещения

E_{\mathrm{pot}} = \rho\left(h + \frac{x}{2}\right)\pi(R^2 - r^2)gx - mgy = \frac{\rho g\pi(R^2 - r^2)x^2}{2}.

Учитывая, что $E_{\mathrm{pot}} = E_{\mathrm{kin}}$ , получаем

\rho g\pi r^2x^2 = mv^2, \qquad v = rx\sqrt{\frac{\rho g\pi}{m}} = 3{,}5\ \text{мм/с}.

Оригинал в Архива: ok03T.pdf