Съдържание

ВсОШ 2004, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 1 (10 кл.). 10 класс — Паровоз

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2004

XXXVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап. Теоретический тур

Издание и авторы

Федеральное агентство по образованию. Центральный оргкомитет Всероссийских олимпиад. XXXVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. Ярославль, 2003/2004 уч.г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике Центрального оргкомитета Всероссийских олимпиад школьников Министерства образования и науки Российской Федерации. Телефоны: (095) 408-80-77, 408-86-95. E-mail: fizolimp@mail.ru (с припиской antispam к теме письма).

Авторский коллектив — Александров Д., Бутиков Е., Воробьев И., Егоров М., Иоголевич И., Козел С., Муравьев В., Можаев В., Подлесный Д., Чивилев В., Чудновский А.

Общая редакция — Козел С.

Техническая редакция — Александров Д., Слободянин В., Чудновский А.

Оформление и верстка — Чудновский А., Щербаков Р., Егоров М., Ильин А.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 14 марта 2005 г. в 22:43.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Условие

Ведущие колеса паровоза соединены реечной передачей, одно звено которой представляет собой плоскую горизонтальную штангу, шарнирно прикрепленную к спицам соседних колес на расстоянии от оси, равном половине радиуса $R$ колеса (рис. 4). При осмотре паровоза механик поставил на эту штангу ящик с инструментами и по рассеянности забыл его там. Паровоз трогается с места и начинает медленно набирать скорость. При какой скорости $v_1$ паровоза ящик начнет проскальзывать относительно штанги? При какой скорости $v_2$ паровоза ящик начнет подпрыгивать? Коэффициент трения между ящиком и штангой равен $\mu$ . Числовой расчет проведите для значений $R=1\ \text{м}$ , $\mu=0{,}5$ .

Решение

Перейдем в систему отсчета, равномерно движущуюся вместе с паровозом. Очевидно, что пока ящик не проскальзывает, он движется по окружности радиуса $l=R/2$ . Вектор ускорения направлен к центру окружности и равен $\omega^2l$ . Пусть $m$ — масса ящика, $N$ — нормальная реакция опоры, $\omega$ — угловая скорость вращения колес, $\varphi$ — угол, который спица в данный момент образует с горизонтом. Условие отсутствия проскальзывания ящика можно записать в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси:

Ox:\quad m\omega^2l\cos\varphi\le\mu N,

Oy:\quad m\omega^2l\sin\varphi=mg-N,

откуда

\omega^2l\cos\varphi\le\mu(g-\omega^2l\sin\varphi),\quad\text{или}\quad\omega^2l(\cos\varphi+\mu\sin\varphi)\le\mu g.

Выражение $f(\varphi)=(\cos\varphi+\mu\sin\varphi)$ максимально при $\varphi=\varphi_0$ , которое находится из условия

f'(\varphi_0)=-\sin\varphi_0+\mu\cos\varphi_0=0,

откуда $\operatorname{tg}\varphi_0=\mu$ .

Но можно обойтись и без производных, введя вспомогательный угол $\psi$ : $\operatorname{tg}\psi=\mu$ .

Тогда

f(\varphi)=\cos\varphi+\frac{\sin\psi}{\cos\psi}\sin\varphi=\frac{\cos(\varphi-\psi)}{\cos\psi}.

Это выражение принимает максимальное значение при $\varphi=\psi$ .

Выражая $\sin\varphi_0$ и $\cos\varphi_0$ через $\mu$ , найдем $f(\varphi_0)=\sqrt{1+\mu^2}$ и преобразуем условие отсутствия проскальзывания:

\frac{\omega^2l}g\le\frac\mu{\sqrt{1+\mu^2}},

откуда

v_1=\omega_1R=\sqrt{\frac{2gR\mu}{\sqrt{1+\mu^2}}}\approx3{,}0\ \text{м/с}.

Если скорость превысит это значение, ящик сдвинется относительно штанги.

Ящик начнет подпрыгивать, когда вертикальное ускорение штанги в верхней точке превысит ускорение свободного падения:

\omega^2l\ge g,\qquad v_2=\omega_2R=\sqrt{2gR}=4{,}43\ \text{м/с}.

Оригинал в Архива: final04T.pdf