ВсОШ 2004, Зонален етап, 9–11 клас — Задача 11.5. Композитная линза

• $\frac{f'}{f} = \frac{\alpha\beta(\gamma + 1)}{\alpha + \beta\gamma}$

Пусть $D_1$ и $D_2$ — оптические силы двух исходных линз, $D$ — композитной линзы. Фокусные расстояния линз связаны с их оптическими силами обратной зависимостью:

Из условий $f_1' = \alpha f_1$ и $f_2' = \beta f_2$ выразим оптические силы линз в жидкости:

Диаметр проходящего через оптическую систему из двух линз пучка параллельных лучей изменится в $\gamma$ раз, если линзы имеют общую точку фокуса (телескопическая система) и их оптические силы отличаются в $\gamma$ раз:

Линза с меньшей оптической силой изменяет ее в большее число раз при помещении в оптически более плотную среду, поэтому из $\beta > \alpha$ следует $D_2 < D_1$, то есть

Если линзы приложены одна к другой, то их оптические силы складываются. В качестве линз можно рассматривать половинки исходных линз, следовательно,

Подставляя выражения для $D_1'$ и $D_2'$ и используя соотношение между $D_1$ и $D_2$, находим