Съдържание

ВсОШ 2004, Зонален етап, 9–11 клас — Задача 9.2. Коническая пробка

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2004

XXXVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Окружной этап. Теоретический тур

Условие

В дне сосуда имеется сужающееся отверстие, плотно закрытое конической пробкой (рис. 1). Площадь основания пробки $S$ , высота $L$ . Уровень дна сосуда пересекает конус на половине его высоты. Плотности пробки и жидкости составляют $\rho_0$ и $\rho$ соответственно. Какой должна быть высота уровня жидкости $H > 0$ над основанием конуса, чтобы пробка не всплывала? Какую минимальную внешнюю силу $F$ , направленную вверх, нужно в этом случае приложить к пробке, чтобы ее вытащить?

Сосуд с жидкостью (штриховые линии обозначают жидкость); в отверстии дна сосуда — перевёрнутая заштрихованная коническая пробка, основание которой находится внутри сосуда, а вершина выступает под дном. — Рис. 1

Примечание. Объем конуса $V = LS/3$ .

Отговори

Решение

Представим себе, что верхняя часть пробки полностью погружена в жидкость, которая может подтекать и под эту половину. Тогда на эту воображаемую половину пробки со стороны жидкости действовали бы:

сила давления на верхнюю поверхность $F_1$ (направлена вниз);
равнодействующая сил давления на боковую поверхность $F_3$ (направлена вверх);
сила давления на нижнюю поверхность $F_2 = \rho g(H + \frac{L}{2})\frac{S}{4}$ (направлена вверх).

По закону Архимеда, суммарная сила, действующая на воображаемую половину пробки, была бы равна

F_A' = \rho g V' = \rho g\frac{7}{8}\frac{LS}{3} = F_2 + F_3 - F_1,

Где $V'$ — объём верхней части пробки.

Однако в реальности на пробку со стороны жидкости действуют только силы $F_1$ и $F_3$ . Их равнодействующая

R = F_3 - F_1 = F_2 - \rho g\frac{7}{8}\frac{LS}{3} = \rho g S\left(\frac{H}{4} - \frac{L}{6}\right).

Пробка не будет всплывать, если сумма силы тяжести и равнодействующей $R$ направлена вниз, т.е.

\rho g S\left(\frac{H}{4} - \frac{L}{6}\right) + \rho_0 g\frac{LS}{3} \geqslant 0.

Это условие можно записать как

H \geqslant \frac{2}{3}L\left(1 - \frac{2\rho_0}{\rho}\right).

Если $2\rho_0 > \rho$ , пробка не всплывет при любом неотрицательном значении $H$ .

Чтобы вытащить пробку, нужно приложить минимальную силу

F = \rho g S\left(\frac{H}{4} - \frac{L}{6}\right) + \rho_0 g\frac{LS}{3}.

Оригинал в Архива: ok04T.pdf