ВсОШ 2005, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11.1. Из области фантастики

• $\tau \approx 4{,}19 \cdot 10^5$ с $\approx 4{,}85$ сут; $v \approx 11{,}2$ км/с

Поскольку масса $M$ Земли велика по сравнению с массой $m$ Луны, то будем считать Землю покоящейся. Падение остановившейся Луны на Землю можно рассматривать как движение по вырожденному эллипсу с большой полуосью $a = L/2$ и периодом обращения $T = 2\tau$. По третьему закону Кеплера

Гравитационную постоянную $G$ и массу Земли выразим через ускорение свободного падения на поверхности Земли:

Из (9) и (10) находим

Из закона сохранения энергии

найдем относительную скорость столкновения планет

Примечание. Константу в законе Кеплера (9) помнить не обязательно, так как ее легко вывести, рассмотрев частный случай — круговую орбиту.