Съдържание

ВсОШ 2005, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9.2. Средняя скорость поезда

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2005

XXXIX Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур

Условие

Поезд метро проходит расстояние $S$ между станциями, разгоняясь с ускорением $a$ до середины перегона и тормозя с таким же по модулю ускорением на второй половине пути. В какой момент времени $\tau$ от начала движения средняя скорость $\bar{u}$ поезда на пройденном участке пути максимальна? Найдите это максимальное значение $\bar{u}_{\max}$ и расстояние $l$ от начала пути, на котором оно достигается.

Отговори

Решение

График зависимости координаты $x$ поезда от времени $t$ представлен на рис. 10. Средняя скорость $\bar{u}(t)$ на участке пути, пройденном к моменту времени $t$ , равна угловому коэффициенту $k(t) = x(t)/t$ прямой, проходящей через точку $(t; x(t))$ и начало координат. Из графика видно, что $\bar{u}_{\max}$ соответствует прямой, касающейся кривой $x(t)$ в точке $(\tau; l)$ .

Поезд проходит расстояние $S/2$ от станции отправления за время $t_0 = \sqrt{S/a}$ . Зависимость $x(t)$ для $t > t_0$ имеет вид:

x(t) = \frac{S}{2} + at_0(t - t_0) - \frac{a}{2}(t - t_0)^2. \qquad (1)

С другой стороны,

x(\tau) = \bar{u}_{\max}\tau. \qquad (2)

Подставляя (2) в (1), получаем

\frac{1}{2}a\tau^2 + (\bar{u}_{\max} - 2at_0)\tau + \frac{3}{2}at_0^2 - \frac{S}{2} = 0. \qquad (3)

Поскольку при $t = \tau$ прямая $x = \bar{u}_{\max}t$ касается графика квадратичной функции $x(t)$ , дискриминант (3) должен быть равен нулю:

(\bar{u}_{\max} - 2at_0)^2 - 3a^2t_0^2 + aS = 0,\qquad \text{откуда}\qquad \bar{u}_{\max} = \sqrt{aS}(2 \pm \sqrt{2}).

В последней формуле следует оставить только знак « $-$ », поскольку $\bar{u}_{\max}$ не может превышать максимальной за все время движения скорости поезда $v_0 = at_0 = \sqrt{aS}$ . Подставив $\bar{u}_{\max}$ в (3), найдем $\tau = \sqrt{2S/a}$ . Искомое расстояние $l = \bar{u}_{\max}\tau = 2S(\sqrt{2} - 1) \approx 0{,}83S$ .

График $x(t)$: плавная S-образная кривая из начала координат, выходящая на насыщение; отмечены уровни $S/2$ и $l$ на оси $x$, моменты $t_0$ и $\tau$ на оси $t$, прямая из начала координат, касающаяся кривой (угол $\alpha$), и касательная в точке $t_0$ (угол $\beta$); надписи $\operatorname{tg}\alpha = \bar{u}_{\max}$, $\operatorname{tg}\beta = v_0$. — Рис. 10

Оригинал в Архива: final05T.pdf