Съдържание

ВсОШ 2005, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10.1. Двойная звезда

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2005

XXXIX Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур

Условие

«Двойная звезда» состоит из двух звезд, находящихся на постоянном расстоянии друг от друга. Космонавт Глюк решил вывести космический корабль на орбиту таким образом, чтобы он находился все время на отрезке, соединяющем звезды, на постоянном расстоянии от каждой из звезд и расходовал при этом минимальное количество топлива. Проведя все расчеты, Глюк нашел, что корабль должен находиться на расстоянии $l_1$ от первой звезды и $l_2$ от второй, и успешно вывел корабль на орбиту. Чему равно отношение $M_1/M_2$ масс звезд?

Отговори

Решение

Двойная звезда совершает вращательное движение вокруг центра масс. При этом звезды движутся по окружностям радиусами

R_1 = \frac{M_2}{M_1 + M_2}l,\qquad R_2 = \frac{M_1}{M_1 + M_2}l,

где $l = l_1 + l_2$ — расстояние между звездами. Из второго закона Ньютона для движения первой звезды

M_1\omega^2R_1 = \frac{GM_1M_2}{l^2}

найдем угловую скорость вращения системы

\omega^2 = \frac{G(M_1 + M_2)}{l^3}.

Космический корабль массой $m$ должен двигаться с той же угловой скоростью вокруг центра масс двойной звезды по окружности радиусом

r = |R_1 - l_1|. \qquad (4)

Двигатель корабля может быть выключен, если движение корабля по окружности определяется только суммарной силой тяжести:

m\omega^2r = -\frac{GM_1m}{l_1^2} + \frac{GM_2m}{l_2^2}. \qquad (5)

При выборе знаков в правой части предполагалось, что корабль находится между центром масс системы и первой звездой, то есть $l_1 < R_1$ , следовательно:

m\omega^2\left(\frac{M_2l}{M_1 + M_2} - l_1\right) = -\frac{GM_1m}{l_1^2} + \frac{GM_2m}{l_2^2}. \qquad (6)

Такое же уравнение получается в случае $l_1 > R_1$ , так как изменения знаков правой части (5) и подмодульного выражения в (4) происходят одновременно. Решая (6), находим

\frac{M_1}{M_2} = \frac{(l_1 + l_2)^3 - l_2^3}{(l_1 + l_2)^3 - l_1^3}\cdot\frac{l_1^2}{l_2^2}.

Примечание. Можно показать, что рассмотренная орбита является неустойчивой, поэтому потребуется небольшой расход топлива на ее регулярную корректировку.

Оригинал в Архива: final05T.pdf