Съдържание

ВсОШ 2005, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10.2. Неквазистатические процессы

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2005

XXXIX Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур

Условие

В цилиндре с теплонепроницаемыми стенками под массивным теплонепроницаемым поршнем находится идеальный одноатомный газ. На поршень поставили гирю, масса которой равна массе поршня (рис. 5). После того как система пришла в новое состояние термодинамического равновесия, гирю быстро сняли и вновь дождались наступления равновесного состояния. Определите, какая температура $T$ газа установится в цилиндре после четырех таких циклов, если первоначальная температура равнялась $T_0 = 300$ К. Считайте, что трение между поршнем и стенками цилиндра пренебрежимо мало. Внешним давлением можно пренебречь.

Вертикальный цилиндр с газом (точки) под заштрихованным поршнем, на поршне стоит гиря. — Рис. 5

Отговори

Решение

Процессы, протекающие в цилиндре с газом не являются равновесными, поэтому использовать уравнение Пуассона для адиабаты нельзя. Применим закон сохранения энергии системы «газ-поршень-гиря» к неквазистатическому процессу сжатия газа из состояния $(T_1,V_1,p_1)$ в состояние $(T_2,V_2,p_2)$ под действием установленной гири:

\Delta U_{12} = \nu C_V(T_2 - T_1) + 2mg(h_2 - h_1) = 0, \qquad (7)

где $\nu$ — количество газа, $m$ — масса гири (равная массе поршня), $h_1$ и $h_2$ — начальная и конечная вертикальные координаты поршня. Пусть $S$ — площадь сечения поршня, тогда

V_1 = Sh_1,\qquad V_2 = Sh_2,\qquad p_1 = \frac{mg}{S},\qquad p_2 = 2p_1 = \frac{2mg}{S}.

Используя уравнение Менделеева-Клапейрона

p_1V_1 = \nu RT_1,\qquad p_2V_2 = \nu RT_2,

из (7) получим:

\Delta U_{12} = \nu C_V(T_2 - T_1) + \nu RT_2 - 2\nu RT_1 = 0,

откуда

T_2 = \frac{C_V + 2R}{C_V + R}T_1 = \frac{7}{5}T_1.

Аналогично, рассмотрим неквазистатический процесс расширения газа в состояние $(T_3,V_3,p_3)$ после снятия гири:

\Delta U_{23} = \nu C_V(T_3 - T_2) + mg(h_3 - h_2) = 0.

Поскольку $mgh_3 = (mg/S)Sh_3 = p_3V_3 = \nu RT_3$ , то

\Delta U_{23} = \nu C_V(T_3 - T_2) + \nu RT_3 - \frac{1}{2}\nu RT_2 = 0,

откуда

T_3 = \frac{C_V + R/2}{C_V + R}T_1 = \frac{4}{5}T_2 = \frac{28}{25}T_1.

После 4 циклов сжатия и расширения установится температура

T = \left(\frac{28}{25}\right)^4 T_0 \approx 1{,}57T_0 \approx 472\ \text{К}.

Оригинал в Архива: final05T.pdf