Съдържание

ВсОШ 2005, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10.4. Периодическая подзарядка конденсатора

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2005

XXXIX Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур

Условие

В цепи (рис. 7) состояние ключа $K$ периодически изменяют: замыкают на время $\tau$ , затем размыкают на время $2\tau$ , снова замыкают на время $\tau$ и размыкают на время $2\tau$ и так далее. Время $\tau$ достаточно мало, так что напряжение на конденсаторе большой емкости $C$ на успевает за это время заметно измениться. После большого количества переключений напряжение на конденсаторе становится практически постоянным, совершая лишь небольшие колебания около своего среднего значения. ЭДС источника $\mathcal{E}$ и сопротивление $R$ каждого из резисторов известны. Найдите в установившемся режиме:

Цепь: источник $\mathcal{E}$, два последовательных резистора $R$ и конденсатор $C$; ключ $K$ соединяет точку между резисторами с нижним проводом. — Рис. 7

1. среднее значение напряжения $U$ на конденсаторе;

2. среднюю силу тока $I$ , текущего через ключ;

3. отношение средних тепловых мощностей, выделяющихся на резисторах.

Отговори

Решение

При разомкнутом ключе конденсатор заряжается током

I_1 = \frac{\mathcal{E} - U}{2R},

а при замкнутом ключе — разряжается током

I_2 = \frac{U}{R}.

В стационарном состоянии количество приходящего заряда $I_1 \cdot 2\tau$ должно равняться количеству уходящего заряда $I_2 \cdot \tau$ :

\frac{\mathcal{E} - U}{2R} \cdot 2\tau = \frac{U}{R} \cdot \tau,\qquad \text{откуда}\qquad U = \frac{\mathcal{E}}{2}.

Пока ключ замкнут (в течение времени $\tau$ ), через него течет ток силой

I_K = \frac{\mathcal{E}}{R} + \frac{U}{R} = \frac{3\mathcal{E}}{2R}.

Когда ключ разомкнут (в течение времени $2\tau$ ), тока нет. Средний ток равен отношению заряда, протекшего за период, к длительности периода:

I = \frac{\frac{3\mathcal{E}}{2R} \cdot \tau + 0 \cdot 2\tau}{\tau + 2\tau} = \frac{\mathcal{E}}{2R}.

Сила тока через левый резистор (рис. 13) равна

I' = \frac{\mathcal{E}}{R},

пока ключ замкнут, и

I'' = \frac{\mathcal{E} - U}{2R} = \frac{\mathcal{E}}{4R},

когда ключ разомкнут. Средняя мощность равна отношению тепла, выделившегося за период, к длительности периода:

P_1 = \frac{\left(\frac{\mathcal{E}}{R}\right)^2 R \cdot \tau + \left(\frac{\mathcal{E}}{4R}\right)^2 R \cdot 2\tau}{\tau + 2\tau} = \frac{3\mathcal{E}^2}{8R}.

Аналогично, средняя мощность, выделяющаяся на правом резисторе, равна

P_2 = \frac{\left(\frac{\mathcal{E}}{2R}\right)^2 R \cdot \tau + \left(\frac{\mathcal{E}}{4R}\right)^2 R \cdot 2\tau}{\tau + 2\tau} = \frac{\mathcal{E}^2}{8R}.

Отношение мощностей равно трем.

Та же цепь, что на рис. 7: источник $\mathcal{E}$, два резистора $R$, конденсатор $C$ и ключ $K$ между точкой соединения резисторов и нижним проводом. — Рис. 13

Оригинал в Архива: final05T.pdf