ВсОШ 2005, Зонален етап, 9–11 клас — Задача 11.2. Лодка

• $V = \sqrt{1 - \alpha + \frac{\alpha^4}{4}}\,v_0 = \frac{3}{32}\sqrt{41}\,v_0 \approx 0{,}6v_0$

Пусть $\Delta v$ — изменение скорости $v$ лодки за малый промежуток времени $\Delta t$. Запишем второй закон Ньютона для движения лодки в озере:

где $m$ — масса лодки, $k$ — коэффициент пропорциональности между силой сопротивления воды и скоростью лодки. Заметим, что $v\Delta t = \Delta S$ — перемещение лодки за промежуток времени $\Delta t$, поэтому полученное соотношение можно переписать в виде $m\Delta v = -k\Delta S$. Просуммировав последнее уравнение по всему времени движения лодки, получим $m v_0 = kS_0$. Рассмотрим движение лодки в речке. В системе отсчета, связанной с водой, лодка до остановки движется прямолинейно с начальной скоростью

где $u$ — скорость течения речки (рис. 9). Как и для движения лодки в озере имеет место соотношение $m v_1 = kS_1$, из которого легко получить $v_1 = \alpha v_0$. Учитывая (7), найдем $u = v_0\sqrt{\alpha^2 - 1}$. Угол $\varphi$ между векторами $\vec{v}_1$ и [$(-\vec{u})$] определяется соотношениями

Просуммировав уравнение $m\Delta v = -k\Delta S$ по времени движения лодки до середины речки, получим:

Отсюда скорость лодки на середине речки

Скорость лодки относительно берега в тот же момент времени найдем из теоремы косинусов для треугольника скоростей (рис. 10):