Съдържание

ВсОШ 2005, Зонален етап, 9–11 клас — Задача 11.4. Заряд, полый шар и диэлектрик

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2005

XXXIX Всероссийская олимпиада школьников по физике. Окружной этап. Теоретический тур

Внимание: Бележка към темата

Скан брошюры: у левого края некоторых страниц (условия 11 класса и решения) обрезаны начальные буквы строк; обрезанные фрагменты восстановлены по смыслу, неочевидные восстановления отмечены квадратными скобками.

Условие

Маленький шарик с зарядом $Q$ находится в центре закрепленного незаряженного проводящего полого шара с радиусами концентрических поверхностей $R_1$ и $R_2$ ( $R_1 < R_2$ ). Полый шар окружен снаружи концентрическим слоем диэлектрика с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$ и радиусом наружной поверхности $R_3$ (рис. 5). Какую минимальную работу нужно совершить, чтобы удалить шарик через узкий канал в слоях проводника и диэлектрика на расстояние от полого шара, значительно большее $R_3$ ?

Сечение: в центре заряд Q, вокруг проводящий слой (заштрихован) с радиусами R₁ и R₂, снаружи слой диэлектрика ε (заштрихован в другом направлении) с наружным радиусом R₃; через слои проходит узкий радиальный канал. — Рис. 5

Отговори

Решение

Минимальная работа равна изменению энергии электрического поля. Сравнив мысленно картины полей в начале и в конце опыта, можно заключить, что это изменение энергии есть разность $W_2 - W_1$ , где $W_1$ — энергия поля в слое диэлектрика с радиусами поверхностей $R_2$ и $R_3$ (поле создано зарядом $Q$ , помещенным в центр этого слоя), $W_2$ — энергия поля в «пустом» объеме между сферами с радиусами $R_1$ и $R_3$ (поле создано зарядом $Q$ , помещенным в общий центр этих сфер). Энергии $W_1$ и $W_2$ удобно искать как энергии соответствующих сферических конденсаторов с емкостями $C_1$ и $C_2$ , имеющих на обкладках заряд $Q$ .

Найдем $C_2$ и $W_2$ . Напряжение на конденсаторе с радиусами обкладок $R_1$ и $R_3$ :

U = \left(k\frac{Q}{R_1} + k\frac{-Q}{R_3}\right) - 0 = kQ\frac{R_3 - R_1}{R_1 R_3}, \qquad \text{где} \qquad k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}.

Емкость конденсатора

C_2 = \frac{Q}{U} = \frac{R_1 R_3}{k(R_3 - R_1)},

его энергия

W_2 = \frac{Q^2}{2C_2} = \frac{kQ^2(R_3 - R_1)}{2R_1 R_3}.

Аналогично находим

C_1 = \frac{\varepsilon R_2 R_3}{k(R_3 - R_2)}, \qquad W_1 = \frac{kQ^2(R_3 - R_2)}{2\varepsilon R_2 R_3}.

Искомая работа

A = W_2 - W_1 = \frac{kQ^2}{2R_3}\left(\frac{R_3 - R_1}{R_1} - \frac{R_3 - R_2}{\varepsilon R_2}\right).

Справочные данные

Величина	Значение
Скорость света в вакууме	$c = 2{,}998 \cdot 10^{8}$ м/с
Постоянная Планка	$h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}$ Дж·с
Гравитационная постоянная	$\gamma = 6{,}672 \cdot 10^{-11}$ Н·м²/кг²
Элементарный заряд	$e = 1{,}602 \cdot 10^{-19}$ Кл
Электрическая постоянная	$\varepsilon_0 = 8{,}854 \cdot 10^{-12}$ Ф/м
Магнитная постоянная	$\mu_0 = 1{,}257 \cdot 10^{-6}$ Гн/м
Постоянная Стефана-Больцмана	$\sigma = 5{,}670 \cdot 10^{-8}$ Вт/(м²·К⁴)
Масса электрона	$m_e = 9{,}110 \cdot 10^{-31}$ кг
Атомная единица массы	1 а.е.м. $= 1{,}661 \cdot 10^{-27}$ кг
Универсальная газовая постоянная	$R = 8314$ Дж/(кмоль·К)
Постоянная Авогадро	$N_A = 6{,}022 \cdot 10^{26}$ кмоль⁻¹
Постоянная Больцмана	$k = 1{,}381 \cdot 10^{-23}$ Дж/К
Абсолютный нуль температур	$T_0 = -273{,}15$ °C
Ускорение свободного падения (стандартное)	$g = 9{,}807$ м/с²
Атмосферное давление (нормальное)	$p_0 = 1{,}013 \cdot 10^{5}$ Па
Средняя молярная масса воздуха	$\mu = 29$ кг/кмоль
Масса Солнца	$1{,}989 \cdot 10^{30}$ кг
Радиус Солнца	$6{,}960 \cdot 10^{8}$ м
Расстояние от Солнца до Земли (среднее), астр. единица	$1{,}496 \cdot 10^{11}$ м
Масса Земли	$5{,}976 \cdot 10^{24}$ кг
Радиус Земли (экваториальный)	$6{,}378 \cdot 10^{6}$ м
Расстояние от Земли до Луны (среднее)	$3{,}844 \cdot 10^{8}$ м
Масса Луны	$7{,}350 \cdot 10^{22}$ кг
Радиус Луны (средний)	$1{,}738 \cdot 10^{6}$ м
Молярная масса воды	$\mu = 18$ кг/кмоль
Плотность воды (при 4°C)	1000 кг/м³
Плотность льда (при 0°C)	917 кг/м³
Теплоемкость льда	$2{,}1 \cdot 10^{3}$ Дж/(кг·°C)
Теплота плавления льда	$3{,}350 \cdot 10^{5}$ Дж/кг
Теплоемкость воды	$4{,}18 \cdot 10^{3}$ Дж/(кг·°C)
Теплота парообразования воды	$2{,}256 \cdot 10^{6}$ Дж/кг

Оригинал в Архива: ok05T.pdf