Съдържание

ВсОШ 2006, Регионален етап, 8–11 клас — Задача 5 (11 кл.). 11 класс — Электромагнитная индукция

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2006

XL Всероссийская олимпиада школьников по физике — Региональный этап. Теоретический тур · 10 т.

Издание, авторы и время работы

Федеральное агентство по образованию. Центральный оргкомитет Всероссийских олимпиад. XL Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. МФТИ, 2005/2006 уч.г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике Центрального оргкомитета Всероссийских олимпиад школьников Министерства образования и науки Российской Федерации. Телефоны: (095) 408-80-77, 408-86-95. E-mail: fizolimp@mail.ru (с припиской antispam к теме письма).

Авторы задач:

Задача	8 класс	9 класс	10 класс	11 класс
1	Фольклор	Фольклор	Милютин Е.	Слободянин В.
2	Слободянин В.	Карамазин С.	Фольклор	Шведов О.
3	Подлесный Д.	Карамазин С.	Егоров М.	Чудновский А.
4	Сеитов А.	Александров Д.	Шурухин В.	Слободянин В.
5			Прут Э.	Александров Д.

Общая редакция — Слободянин В.

Техническая редакция — Чудновский А.

Оформление и верстка — Чудновский А., Самокотин А., Дзябура Е., Гусихин П.

Рецензия — Дунин С., Козел С., Мельниковский Л.

Максимальное время, которое даётся участникам на решение задач, определяется из расчёта «один астрономический час на задачу», то есть в 8 и 9 классах даётся 4 часа, а в 10 и 11 классах — 5 часов.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 24 ноября 2005 г. в 03:45.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Возможные решения — общие критерии

К решениям прилагаются примерные критерии оценивания. При необходимости проверяющие могут их изменить. Каждая задача оценивается из 10 баллов. Любое правильное решение заслуживает максимальной оценки. При отсутствии правильного ответа оцениваются фрагменты решения.

Условие

Цепь состоит из катушки индуктивностью $L=1\ \text{Гн}$ , резистора сопротивлением $R=1\ \text{Ом}$ , источника постоянного напряжения, ограничивающего резистора и ключа (рис. 15). Через значительное время после замыкания ключа сила тока через батарейку устанавливается постоянной и равной $I_0=0{,}1\ \text{А}$ . Определите с точностью не хуже 1%, на какую величину $\Delta I$ изменится ток через катушку за время $\tau=10^{-2}\ \text{с}$ после размыкания ключа? Все элементы цепи можно считать идеальными.

Решение

Сразу после размыкания ключа сила тока в катушке останется равной $I_0$ (для скачкообразного изменения тока в катушке требуется бесконечное напряжение). Процесс дальнейшего изменения тока описывается уравнением:

L\dot I+RI=0.\qquad (13)

В начальный момент сила тока в катушке изменялась со скоростью:

\dot I(0)=-\frac RL I_0=-0{,}1\ \text{А/с}.

Если бы эта скорость оставалась постоянной, то ток прекратился бы через

T=\frac{I_0}{|\dot I(0)|}=\frac LR=1\ \text{с}.

Из уравнения (13) видно, что $\dot I$ со временем убывает, поэтому истинное время затухания тока больше. Поскольку $\tau\ll T$ , то будем считать, что ток убывает с постоянной скоростью, тогда

\Delta I=\dot I(0)\tau=-\frac RL I_0\tau=-1\ \text{мА}.

При нахождении $\Delta I$ мы считали, что $\dot I=\mathrm{const}$ , хотя на самом деле скорость изменения силы тока меняется. Для оценки погрешности нашего результата будем считать, что $\dot I$ изменяется линейно со временем. Тогда погрешность $\delta I$ равна площади заштрихованного треугольника (рис. 23):

\delta I=\frac12\tau\Delta\dot I=\frac12\tau\frac RL\Delta I.

Относительная погрешность

\frac{\delta I}{\Delta I}=\frac{\tau R}{2L}=0{,}5\%.

Примечание. Уравнение (13) имеет точное решение:

I(t)=I_0e^{-tR/L},

откуда

\Delta I=I(\tau)-I_0=I_0\left(e^{-\tau R/L}-1\right)=-0{,}995\ \text{мА}\approx-1\ \text{мА}.

Критерии оценивания

Критерий	Баллы
Запись уравнения, описывающего затухание тока в цепи	2
Выражение для $\dot I(0)$	1
Выражение для $T$	1
Формула для $\Delta I$	2
Численный ответ	2
Оценка относительной погрешности	2

Оригинал в Архива: region06T.pdf