Съдържание

ВсОШ 2006, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 5 (11 кл.). 11 класс — У торца соленоида

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2006

XL Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап. Теоретический тур

Издание и авторы

Федеральное агентство по образованию. Центральный оргкомитет Всероссийских олимпиад. XL Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. Снежинск, 2006 г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике Центрального оргкомитета Всероссийских олимпиад школьников Министерства образования и науки Российской Федерации. Телефоны: (095) 408-80-77, 408-86-95. E-mail: fizolimp@mail.ru (с припиской antispam к теме письма).

Авторы задач:

Задача	9 класс	10 класс	11 класс
1	Грибов В.	Мельниковский Л.	Чудновский А.
2	Слободянин В.	Воробьёв И.	Бутиков Е.
3	Шведов О.	Слободянин В.	Козел С.
4	Соболев М.	Воробьёв И.	Огарков М.
5		Козел С.	Козел С.

Общая редакция — Козел С.

Оформление и вёрстка — Гусихин П.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 21 июня 2006 г. в 17:58.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Условие

У торца вертикально расположенного длинного соленоида на тонком немагнитном листе лежит соосно с соленоидом круглое тонкое кольцо из сверхпроводника (рис. 12). В начальном состоянии сила тока в витках соленоида и сила тока в кольце равны нулю. При протекании тока по виткам соленоида вблизи торца возникает неоднородное магнитное поле. Вертикальную $B_z$ и радиальную $B_r$ составляющие вектора магнитной индукции $\vec B$ можно в некоторой ближней области задать с помощью соотношений $B_z\approx B_0(1-\alpha z)$ , $B_r\approx B_0\beta r$ , где $\alpha$ и $\beta$ — некоторые константы, а $B_0$ определяется силой тока в соленоиде. По виткам соленоида начинают пропускать ток силой $I$ , постепенно увеличивая его значение. Определите:

Числовые данные: $\alpha=36\ \text{м}^{-1}$ , $\beta=18\ \text{м}^{-1}$ , масса кольца $m=100\ \text{мг}$ , коэффициент самоиндукции кольца $L=1{,}8\cdot10^{-8}\ \text{Гн}$ , площадь кольца $S=1\ \text{см}^2$ , магнитная постоянная $\mu_0=1{,}257\cdot10^{-6}\ \text{Гн/м}$ , плотность намотки соленоида $n=10^3\ \text{м}^{-1}$ .

1. критическое значение силы тока $I_0$ в соленоиде, при котором кольцо начинает подниматься над опорой;

2. высоту кольца над опорой при $I=2I_0$ ;

3. частоту малых колебаний колебаний сверхпроводящего кольца при $I=2I_0$ .

Решение

Магнитное поле $B_0$ (при $z=0$ ) у торца длинного соленоида равно половине значения поля магнитной индукции внутри соленоида вдали от торцов

B_0=\frac12\mu_0I_cn.

Пусть кольцо расположено на некотором расстоянии $z$ от торца. Результирующий магнитный поток $\Phi=B_zS+LI=B_0(1-\alpha z)S+LI$ , где $I$ — сила тока в кольце. Сверхпроводящее кольцо сохраняет магнитный поток. Из начальных условий $\Phi=0$ . Следовательно,

I(z)=-\frac{B_0(1-\alpha z)S}L.

Знак «−» указывает на то, что ток в кольце протекает в направлении, противоположном току в витках соленоида. Следовательно, кольцо будет отталкиваться от соленоида. Сила Ампера, действующая на кольцо, направлена вверх:

F_z=F_A-mg=|I(z)|B_r2\pi r_0-mg=\frac{B_0^2(1-\alpha z)S^2}L2\beta-mg.

Условие равновесия кольца: $F_z=0$ , то есть

B_0^2(1-\alpha z)=\frac{mgL}{2\beta S^2},\quad\text{или}\quad\left(\frac12\mu_0I_cn\right)^2(1-\alpha z)=\frac{mgL}{2\beta S^2}.

При $z=0$ критическое значение индукции магнитного поля равно $B_0$ и, следовательно,

I_c=I_0=\sqrt{\frac{mgL}{2\beta}}\frac2{S\mu_0n}=11{,}1\ \text{А}.

При таком токе кольцо начинает подниматься над опорой.

При $I_c>I_0$ кольцо висит над опорой (левитирует) на некотором расстоянии $z=z_0$ (без нарушения осевой симметрии). В этом случае

(1-\alpha z_0)=\left(\frac{I_0}{I_c}\right)^2,

откуда

z_0=\frac1\alpha\left(1-\left(\frac{I_0}{I_c}\right)^2\right).

При условии $I_c=2I_0$ расстояние

z_0=\frac3{4\alpha}=2{,}08\ \text{см}.

В этом случае $I_c=2I_0=\mathrm{const}$ , а магнитная индукция $B_0=\mu_0I_0n$ . При малом смещении $\Delta z$ кольца из положения равновесия

F_z=\frac{B_0^2(1-\alpha z_0)S^2}L2\beta-\frac{B_0^2\alpha\Delta zS^2}L2\beta-mg=-\frac{2\alpha\beta B_0^2S^2}L\Delta z.

Таким образом, на кольцо действует квазиупругая сила, коэффициент жёсткости которой равен

k=\frac{2\alpha\beta B_0^2S^2}L=\frac{2\alpha\beta(\mu_0I_0n)^2S^2}L=0{,}14\ \text{Н/м}.

Частота колебаний кольца около положения равновесия равна

f=\frac1{2\pi}\sqrt{\frac km}=6{,}0\ \text{Гц}.

Оригинал в Архива: final06T.pdf