Съдържание

ВсОШ 2006, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 5 (10 кл.). 10 класс — Полубесконечная цепочка

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2006

XL Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап. Теоретический тур

Издание и авторы

Федеральное агентство по образованию. Центральный оргкомитет Всероссийских олимпиад. XL Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. Снежинск, 2006 г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике Центрального оргкомитета Всероссийских олимпиад школьников Министерства образования и науки Российской Федерации. Телефоны: (095) 408-80-77, 408-86-95. E-mail: fizolimp@mail.ru (с припиской antispam к теме письма).

Авторы задач:

Задача	9 класс	10 класс	11 класс
1	Грибов В.	Мельниковский Л.	Чудновский А.
2	Слободянин В.	Воробьёв И.	Бутиков Е.
3	Шведов О.	Слободянин В.	Козел С.
4	Соболев М.	Воробьёв И.	Огарков М.
5		Козел С.	Козел С.

Общая редакция — Козел С.

Оформление и вёрстка — Гусихин П.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 21 июня 2006 г. в 17:58.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Условие

На рисунке 8 изображена полубесконечная цепочка, состоящая из одинаковых источников постоянного тока с ЭДС $\mathcal E=1{,}2\ \text{В}$ и внутренним сопротивлением $r=2{,}0\ \text{Ом}$ . К входным клеммам цепочки с помощью перекидного ключа $K$ могут быть подключены либо идеальный вольтметр $V$ , либо идеальный амперметр $A$ . Определите показания этих приборов.

Решение

Решение сводится к определению ЭДС $\mathcal E_0$ эквивалентной батареи и её внутреннего сопротивления $r_0$ . Тогда показания вольтметра $U=\mathcal E_0$ , показания амперметра $I_0=\mathcal E_0/r_0$ (короткое замыкание).

Пусть сначала к цепочке подсоединён вольтметр $V$ . Заменим полубесконечную цепочку, начиная со второго звена, эквивалентной батареей (рис. 19).

Через идеальный вольтметр ток не течёт. По закону Ома

I=\frac{\mathcal E-\mathcal E_0}{r+r_0}.

Показание вольтметра

U=\mathcal E_0=U_{AB}-\mathcal E,

где напряжение между точками $A$ и $B$

U_{AB}=\mathcal E-Ir.

Следовательно,

U=-Ir=-\frac{\mathcal E-\mathcal E_0}{r+r_0}\cdot r=\mathcal E_0,

откуда

\mathcal E_0=-\frac r{r_0}\mathcal E.\qquad (7)

Теперь к входу цепочки вместо вольтметра подключим амперметр. Подключение идеального амперметра соответствует короткому замыканию. Пусть $I_0$ , $I_1$ и $I_2$ — силы тока в ветвях цепи (рис. 20), тогда

U_{AB}=\mathcal E+I_0r=\mathcal E-I_1r=\mathcal E_0-I_2r_0.\qquad (8)

По первому правилу Кирхгофа для точки $A$ имеем:

I_0=I_1+I_2.\qquad (9)

Из (8) и (9) следует:

I_1=-I_0,\qquad I_2=2I_0.

Используя (7), запишем (8) в виде:

\mathcal E+I_0r=-\frac r{r_0}\mathcal E-2I_0r_0,

где

I_0=\frac{\mathcal E_0}{r_0}=-\frac{\mathcal E r}{r_0^2}.

Для определения $r_0$ получим уравнение:

r_0^2-rr_0-r^2=0.

Положительный корень этого уравнения

r_0=\frac{1+\sqrt5}{2}r\approx3{,}26\ \text{Ом}.

Из (7) находим

\mathcal E_0=-\frac r{r_0}\mathcal E=-\frac2{1+\sqrt5}\mathcal E\approx-0{,}74\ \text{В},

откуда

I_0=\frac{\mathcal E_0}{r_0}\approx-0{,}23\ \text{А}.

Оригинал в Архива: final06T.pdf