ВсОШ 2006, Зонален етап, 9–11 клас — Задача 3. Неполная банка (1)

• $V = \frac{L^2 x_c}{2\pi} - \frac{m}{\rho}\left(\frac{H}{2x_c} - 1\right)$

С помощью скотча наклеиваем на банку полоску миллиметровой бумаги. Найдём объём жидкости в банке. Для этого с помощью миллиметровой бумаги находим периметр $L$ банки и вычисляем площадь $S$ её поперечного сечения (толщиной стенок банки можно пренебречь):

Объём жидкости в банке: $V = Sh$, где $h$ — высота жидкости в банке. Для определения этой высоты с помощью скотча подвешиваем банку на двух нитях к краю стола. Дно банки должно быть параллельно полу. Можно считать, что получается математический маятник длиной, равной расстоянию от точки подвеса до центра масс системы банка-жидкость. Рядом с местом крепления банки (на краю стола) закрепляем нить, соединённую с гайкой (рис. 6). Нить следует фиксировать скотчем. Высоту подвеса гайки можно регулировать, подтягивая нить рукой. Добиваемся того, чтобы периоды колебания гайки и банки совпадали. Делаем метку на миллиметровой бумаге, наклеенной на банке, на том же уровне что и центр гайки. Так мы находим высоту $x_c$ центра масс банки с жидкостью относительно её дна. Высота $x_c$ связана с высотой $h$ верхнего уровня жидкости в банке соотношением:

где $M = \rho S h$ — масса воды в банке, $H$ — высота банки. Выразив $h$, находим искомый объём жидкости

Второе слагаемое является малой поправкой, связанной с массой банки.

Рекомендации для организаторов. В качестве банки можно использовать жестяную банку от пива ёмкостью 0,5 л. Её масса $\approx 23$ г (необходимо взвесить и сообщить участникам её точное значение для выданных банок). Банку не надо открывать стандартным способом! Около верха банки её нужно сделать шилом отверстие и вылить содержимое. Затем с помощью маленькой воронки (шприца) влить в банку воду. Вода должна заполнять примерно $2/3$ объёма банки. Далее пробитую дырку следует залепить пластилином и всё это плотно обмотать скотчем. Нить должна быть достаточно прочной. Её длина $\approx 4$ м.