ВсОШ 2006, Зонален етап, 9–11 клас — Задача 5. Неполная банка (2)

• $\rho = \frac{2\pi M}{P^2\left(x_c - \frac{\mu}{M}(H - x_c)\right)}$

С помощью скотча прикрепляем к верхнему краю банки два куска нити длиной 60 – 70 см. Взвешиваем банку с помощью неравноплечных весов, сделанных с помощью линейки, поставленной на круглый карандаш, прикреплённый к столу скотчем. На один край линейки подвешиваем груз, на другой — банку. Условие равновесия банки и груза:

где $M$ — масса жидкости, $m$ — груза, $L$ и $l$ — плечи весов, соответствующие банке и грузу. Отсюда находим массу жидкости:

С помощью скотча наклеиваем на банку и на груз по полоске миллиметровой бумаги. Измеряем высоту груза и в середине боковой грани на наклеенной полоске бумаги делаем метку. Поскольку груз цилиндрический, то это будет уровень центра масс.

Найдём объём жидкости в банке. Для этого с помощью миллиметровой бумаги находим периметр $P$ банки и вычисляем площадь её нормального сечения (толщиной стенок банки можно пренебречь):

Объем жидкости в банке: $V = S \cdot x$, где $x$ — высота слоя жидкости.

Теперь найдём эту высоту. С помощью скотча подвешиваем банку на двух нитях к краю стола. Дно банки должна быть параллельно полу. Можно считать, что получается математический маятник длиной, равной расстоянию от точки подвеса до центра масс системы банка-жидкость. Рядом с местом крепления банки (на краю стола) закрепляем нити, соединённые с грузом (рис. 8). Нить следует фиксировать скотчем в нескольких местах так, чтобы она под действием веса груза не выскальзывала. Высоту подвеса груза можно регулировать, подтягивая нить рукой. Добиваемся того чтобы периоды колебания груза и банки совпадали. Делаем метку на миллиметровой бумаге, наклеенной на банке, на том же уровне, что и метка на грузе. Так мы находим высоту $x_c$ центра масс банки с жидкостью относительно её дна. Этот уровень соответствует нижнему краю цилиндрической части банки. Высота $x_c$ связана с высотой $x$ верхнего уровня жидкости в банке соотношением:

где $H$ — высота центра масс банки относительно её дна. Находим плотность жидкости:

Без учета массы банки плотность жидкости

Анализ двух последних формул показывает, что «точную» формулу для $\rho$ следует применять только при малом количестве жидкости в банке. В нашем случае формула (1) даёт хорошую точность ($\delta \approx 5\%$).

Рекомендации для организаторов. Выбор и подготовка банки проводится аналогично задаче 10-1. Жидкость, вливаемая в банку, — раствор сахара в воде: на 190 мл воды 200 г сахара, после растворения сахара плотность жидкости примерно 1,2 г/см$^3$. В качестве груза известной массы рекомендуется использовать груз из школьного набора (масса груза должна быть соизмерима с массой банки с жидкостью). Линейка деревянная, длиной 20 – 30 см (она достаточно прочная для использования в качестве рычажных весов). Карандаш — круглый.