Съдържание

ВсОШ 2006, Зонален етап, 9–11 клас — Задача 2. Шаланда

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2006

XL Всероссийская олимпиада школьников по физике. Окружной этап. Теоретический тур

Условие

Лодку массой $m = 100$ кг тянули за верёвку по озеру с постоянной скоростью $v_0 = 1$ м/с. В некоторый момент верёвка оторвалась. Какой путь $L$ пройдёт лодка после этого? Считайте, что сила сопротивления зависит только от скорости $\vec{v}$ и ускорения $\vec{a}$ лодки и определяется выражением: $\vec{F} = -\alpha\vec{v} - \beta\vec{a}$ , где $\alpha = 10\ \text{Н}\cdot\text{с/м}$ , $\beta = 50\ \text{Н}\cdot\text{с}^2/\text{м}$ .

Отговори

Решение

Запишем для лодки второй закон Ньютона:

m\vec{a} = \vec{F} = -\alpha\vec{v} - \beta\vec{a}.

Собрав члены с ускорением в левой части:

(m + \beta)\vec{a} = -\alpha\vec{v},

можно заметить, что движение лодки совпадает с движением тела массой $(m + \beta)$ под действием силы $\vec{F}' = -\alpha\vec{v}$ . Это тело движется по прямой. Перейдём к проекциям на направление движения и определим изменение его импульса $\Delta p'$ за малый промежуток времени $\Delta t$ :

\Delta p' = F'\Delta t = -\alpha v\Delta t, \qquad \text{или} \qquad \Delta p' = -\alpha\Delta x,

где $\Delta x$ — смещение тела за время $\Delta t$ . Из постоянства $\alpha$ следует, что последнее соотношение выполняется для любого (не обязательно малого) смещения $\Delta x$ и, в частности, для полного смещения до остановки $L$ :

-(m + \beta)v_0 = -\alpha L, \qquad \text{откуда} \qquad L = v_0\frac{(m + \beta)}{\alpha} = 15\ \text{м}.

Примечание. В гидродинамике величина $\beta$ называется присоединённой массой.

Критерии оценивания

Второй закон Ньютона для лодки — 2
Переход к эквивалентным массе и силе — 2
Связь между изменением импульса и смещением тела — 3
Окончательное выражения для $L$ — 2
Численное значение $L$ — 1

Оригинал в Архива: ok06T.pdf