Съдържание

ВсОШ 2007, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 3 (9 кл.). 9 класс — Выравнивание температуры (1)

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2007

XLI Всероссийская олимпиада школьников по физике — Региональный этап. Теоретический тур · 10 т.

Издание и авторы

Федеральное агентство по образованию. Центральный оргкомитет Всероссийских олимпиад.

XLI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. МФТИ, 2006/2007 уч.г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике Центрального оргкомитета Всероссийских олимпиад школьников Министерства образования и науки Российской Федерации.

Телефоны: (095) 408-80-77, 408-86-95. E-mail: physolymp@gmail.com.

Авторы задач:

Класс	Задача 1	Задача 2	Задача 3	Задача 4	Задача 5
7	Александров Д.	Подлесный Д.	Фольклор	Фольклор	—
8	Фольклор	Слободянин В.	Фольклор	Подлесный Д.	—
9	Фольклор	Александров Д.	Шведов О.	Русаков А., Сухов В.	—
10	Иванов Г.	Русаков А., Сухов В.	ЕГЭ-2004	Фольклор	Калда Я.
11	Иоголевич И.	Киселёв А.	Радар Ю.	Слободянин В.	Перунов Н., Андреев И.

Общая редакция — Слободянин В., Александров Д.

Оформление и вёрстка — Андреев И., Гусихин П., Гущин И., Ерофеев И., Федотов Ю.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 13 января 2007 г. в 03:03.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Условие

Сосуд с водой имеет форму трёхгранной призмы, нижнее ребро которой горизонтально (рис. 2). В начальный момент времени температура воды линейно зависит от высоты. В самой нижней точке температура воды $t_1=4\ {}^\circ\mathrm C$ , а на поверхности она достигает $t_2=13\ {}^\circ\mathrm C$ . С течением времени температура во всём сосуде выравнялась. Вычислите значение установившейся температуры $t_0$ . Считайте, что стенки сосуда и крышка не проводят и не поглощают тепло.

Решение

Разобьём воду в сосуде на $n$ горизонтальных слоёв с массами $m_1,\ldots,m_n$ (рис. 16) и запишем уравнение энергетического баланса ( $t_0$ — установившаяся температура воды): $c(m_1t_1+\ldots+m_nt_n)=c(m_1+\ldots+m_n)t_0$ ,

откуда

t_0=\frac{m_1t_1+\ldots+m_nt_n}{m_1+\ldots+m_n},

где $c$ — теплоёмкость воды.

По условию температура каждой из масс линейно зависит от её высоты: $t_i=A+B\cdot z_i$ . Обозначим высоту сосуда $h$ . Так как известна температура у основания и на поверхности воды, то мы можем найти неизвестные коэффициенты $A$ и $B$ :

t_1=A+B\cdot0,\qquad t_2=A+B\cdot h,

откуда

A=t_1,\qquad B=\frac{t_2-t_1}h.

Тогда для конечной температуры получим:

t_0=\frac{m_1(A+B\cdot z_1)+\ldots+m_n(A+B\cdot z_n)}{m_1+\ldots+m_n}=A+B\cdot\frac{m_1z_1+\ldots+m_nz_n}{m_1+\ldots+m_n}.

Несложно заметить, что коэффициент перед $B$ является координатой $z_c$ по оси $z$ центра масс воды. Как известно, центр масс треугольника находится на пересечении медиан, которые делятся этой точкой в отношении $2:1$ , считая от вершины. Следовательно, $z_c=h\cdot2/3$ , и окончательно:

t_0=A+B\cdot\frac23h=t_1+\frac23\cdot\frac{t_2-t_1}h\cdot h=10\ {}^\circ\mathrm C.

Система оценивания

Критерий	Баллы
Уравнение энергетического баланса	2
Определение $A$	1
Определение $B$	1
Определение $z_c$	2
Окончательная формула для $t_0$	2
Численный ответ	2

Оригинал в Архива: region07T.pdf