Съдържание

ВсОШ 2007, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 1 (10 кл.). 10 класс — Столкновение бусинок (1)

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2007

XLI Всероссийская олимпиада школьников по физике — Региональный этап. Теоретический тур · 10 т.

Издание и авторы

Федеральное агентство по образованию. Центральный оргкомитет Всероссийских олимпиад.

XLI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. МФТИ, 2006/2007 уч.г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике Центрального оргкомитета Всероссийских олимпиад школьников Министерства образования и науки Российской Федерации.

Телефоны: (095) 408-80-77, 408-86-95. E-mail: physolymp@gmail.com.

Авторы задач:

Класс	Задача 1	Задача 2	Задача 3	Задача 4	Задача 5
7	Александров Д.	Подлесный Д.	Фольклор	Фольклор	—
8	Фольклор	Слободянин В.	Фольклор	Подлесный Д.	—
9	Фольклор	Александров Д.	Шведов О.	Русаков А., Сухов В.	—
10	Иванов Г.	Русаков А., Сухов В.	ЕГЭ-2004	Фольклор	Калда Я.
11	Иоголевич И.	Киселёв А.	Радар Ю.	Слободянин В.	Перунов Н., Андреев И.

Общая редакция — Слободянин В., Александров Д.

Оформление и вёрстка — Андреев И., Гусихин П., Гущин И., Ерофеев И., Федотов Ю.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 13 января 2007 г. в 03:03.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Условие

По гладкой горизонтальной спице навстречу друг другу скользят две группы одинаковых маленьких бусинок (рис. 4). В первой группе их число — $n$ , во второй — $m$ . Все скорости бусинок разные, причём в первой группе $v_1>v_2>\ldots>v_n$ , а во второй $u_1>u_2>\ldots>u_n$ . В некоторый момент времени $t_0$ расстояние как между первыми из сближающихся бусинок, так и между каждой парой соседних бусинок оказалось равным $L$ . Вычислите следующие величины:

1. Число соударений $N$ бусинок друг с другом, если удары абсолютно упругие.

2. Время $\tau$ , прошедшее от момента $t_0$ до последнего соударения.

Решение

Запишем законы сохранения энергии и импульса для лобового столкновения двух одинаковых бусинок, движущихся навстречу друг другу со скоростями $u$ и $v$ :

\begin{cases}mu-mv=mu'+mv',\\ \dfrac{mu^2}2+\dfrac{mv^2}2=\dfrac{mu'^2}2+\dfrac{mv'^2}2,\end{cases}\qquad\text{откуда}\quad\begin{cases}u'=-v,\\v'=u,\end{cases}

то есть бусинки просто обмениваются скоростями. С другой стороны, если до столкновения одна бусинка двигалась вправо со скоростью $v$ , а вторая — влево со скоростью $u$ , после столкновения ничего не изменится, то есть, если пренебречь размерами бусинок, можно считать, что столкновения не было, а бусинки «прошли» сквозь друг друга.

При рассмотрении столкновений с этой точки зрения становится понятно, что каждая такая «прозрачная» бусинка из первого набора столкнётся со всеми из второго набора, поэтому всего столкновений будет $N=mn$ .

Завершающее столкновение произойдёт между самыми последними, то есть самыми медленными, «прозрачными» бусинками. В момент $t_0$ расстояние между ними $(m+n-1)L$ , поэтому искомое время:

\tau=(m+n-1)\frac L{v_n+v_m}.

Система оценивания

Критерий	Баллы
Идея «прозрачности» бусинок	4
Выражение для $N$	2
Выражение для $\tau$	4

Оригинал в Архива: region07T.pdf