ВсОШ 2007, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11.2. Электрические свойства бумаги

• R ≈ 2·10⁹ Ом, ρ ≈ 2·10⁹ Ом·м (верхняя граница)

  По официальному решению: в среднем сопротивление $R \approx 2\cdot 10^9$ Ом, удельное сопротивление $\rho \approx 2\cdot 10^9$ Ом·м; найденное значение является верхней границей.

1. Для определения $\varepsilon$ бумаги соберём из контактных пластин конденсатор, проложив между ними бумагу (можно сделать размер бумажной прокладки чуть больше, чем пластины) и зажав конструкцию прищепками. (Вообще говоря, результаты будут меняться при различных способах зажима, поэтому следует запомнить/зарисовать способ крепления прищепок и в последующих измерениях придерживаться именно его). Ёмкость полученного конденсатора измерим непосредственно (нужно отсоединить щупы во время измерения ёмкости). С другой стороны, ёмкость равна

где $S$ — площадь пластин, которая находится при помощи миллиметровой бумаги.

Теперь вырежем из бумажной прокладки квадратное отверстие площади $s$, существенной по сравнению с площадью пластин, но тем не менее такой, чтобы отверстие не заходило в области прижатия прищепок. Тогда не сложно убедиться, что новая ёмкость составит

следовательно, $\varepsilon$ найдётся как

2. Толщина $d$ найдётся из тех же соображений:

3. Электрическое удельное сопротивление определяется по формуле $\rho = RS/d$. Попытавшись измерить сопротивление $R$ напрямую, можно заметить, что оно больше, чем максимальный предел измерения мультиметра в режиме омметра (200 МОм). Поэтому для того, чтобы измерить сопротивление бумаги между пластинами, соберём измерительную схему (рис. 7).

Вольтметр покажет напряжение на конденсаторе, при котором ток разряда через вольтметр равен току заряда через сопротивление бумаги.

Минимальное значение напряжения, измеряемое вольтметром равно $10^{-4}$ В, следовательно, мы можем измерять сопротивления до $10^{12}$ Ом.

Предложенный метод измерения можно описать другим способом. Известно, что вольтметр можно использовать в качестве амперметра с ценой деления $c_A = c_V/R_V$. Для нашего мультиметра $c_V = 10^{-4}$ В, $c_A = 10^{-11}$ А.

Конденсатор играет вспомогательную роль — шунтирует вольтметр по переменному току, так как при малых токах, текущих в цепи, электромагнитные помехи приводят к хаотичности показаний при малейшем движении проводов.

Сопротивление предлагаемого листа миллиметровой бумаги сильно зависит от влажности. В среднем, сопротивление $R \approx 2\cdot 10^9$ Ом, а удельное сопротивление $\rho \approx 2\cdot 10^9$ Ом $\cdot$ м.

Площадь контакта может быть меньше площади пластин, поэтому найденное значение является верхней границей.

Критерии оценивания

Сборка бумажного конденсатора и измерение его ёмкости — 3

Проведение измерений с разными площадями бумажной прокладки — 3

Определение $\varepsilon$ — 2

Определение $d$ — 2

Схема измерения больших сопротивлений — 3

Определение $\rho$ — 2