Съдържание

ВсОШ 2007, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 5 (11 кл.). 11 класс — Параметрические колебания

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2007

XLI Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап. Теоретический тур · 10 т.

Издание и авторы

Федеральное агентство по образованию. Центральный оргкомитет Всероссийских олимпиад. Методическая комиссия по физике.

XLI Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие. Санкт-Петербург, 2007 г.

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике Центрального оргкомитета Всероссийских олимпиад школьников. Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95, (477) 361-80-43. E-mail: physolymp@gmail.com, vip@mail.mipt.ru.

Авторы задач:

Класс	Задача 1	Задача 2	Задача 3	Задача 4	Задача 5
9	Фольклор	Слободянин В.	Соболев М.	Козел С.	—
10	Воробьёв И.	Фольклор	Козел С.	Плис В.	Козел С.
11	Козел С.	Воробьёв И., Ершов А.	Дельцов В.	Малеев А.	Жак С.

Общая редакция — Козел С. Оформление и вёрстка — Ерофеев И., Гущин И.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε. © Авторский коллектив. Подписано в печать 11 марта 2008 г. в 13:18.

141700, Московская область, г. Долгопрудный. Московский физико-технический институт.

Условие

В схеме изображенной на рисунке 12 ёмкость конденсатора $C$ периодически изменяется путем механического перемещения пластин. Допустим, что вследствие некоторого возмущения в схеме возникли малые колебания с амплитудой напряжения на конденсаторе порядка нескольких милливольт. В момент времени, когда напряжение на конденсаторе максимально, его ёмкость скачкообразно уменьшают на долю $\varepsilon=|\Delta C|/C$ . Через четверть периода $\frac\pi2\sqrt{LC}$ ёмкость скачком увеличивают до прежнего значения; ещё через четверть периода ёмкость вновь скачкообразно уменьшают на долю $\varepsilon$ и т.д. При определённых условиях в схеме могут возбудиться незатухающие электрические колебания.

В схему включен нелинейный элемент (лампочка накаливания Л), вольт-амперная характеристика которой представлена на рисунке 13.

Примечание. Необходимые построения следует выполнять непосредственно на рисунке.

1 Найдите минимальное значение $\varepsilon_{\min}$ , при котором в схеме возбуждаются незатухающие колебания, если $L=0{,}1\ \text{Гн}$ , $C=10^{-7}\ \text{Ф}$ .

2 Найдите амплитуду установившихся колебаний напряжения на лампочке, если $\varepsilon=3\%$ .

Решение

За период колебаний $T=2\pi\sqrt{LC}$ внешние силы дважды совершают положительную работу по раздвижению пластин конденсатора в моменты максимального значения $U_m$ напряжения. Эта работа затрачивается на увеличение энергии конденсатора

A=\Delta W=2\Delta\left(\frac{q^2}{2C}\right)=-\frac{q^2}{C^2}\Delta C=\varepsilon CU_m^2.

Здесь $q=CU_m$ — заряд конденсатора, $\Delta C<0$ — изменение ёмкости конденсатора, $\varepsilon=-\Delta C/C$ — относительное изменение ёмкости (по модулю). При скачкообразном увеличении ёмкости до прежнего значения внешние силы работы не совершают, так как в эти моменты напряжение на конденсаторе равно нулю. При колебаниях тока в цепи часть энергии выделяется в виде джоулева тепла на лампочке, которая является инерционным нелинейным элементом. Она будет вести себя как резистор, сопротивление которого при малых колебаниях определяется наклоном касательной к вольт-амперной характеристике в начале координат.

Из приведённого графика (рис. 33) следует $R_0=2\ \text{Ом}$ .

Таким образом, на лампочке за период колебаний $T$ будет рассеиваться энергия

\Delta Q=\frac{R_0I_m^2}2T=\frac{R_0T}2\omega^2C^2U_m^2.

Здесь $I_m=\omega CU_m$ — амплитуда колебаний тока на лампочке. Условие возбуждения незатухающих параметрических колебаний запишется в виде

\Delta W\geqslant\Delta Q,\quad\text{или}\quad\varepsilon CU_m^2\geqslant\frac{R_0T}2\omega^2C^2U_m^2.

Принимая во внимание $T=2\pi/\omega=2\pi\sqrt{LC}$ , получим для $\varepsilon_{\min}$ :

\varepsilon_{\min}=\frac{R_0T}2\omega^2C=\frac{R_0}2\cdot2\pi\sqrt{LC}\cdot\frac1{LC}\cdot C=\pi R_0\sqrt{\frac CL}.

Подстановка числовых значений даёт $\varepsilon_{\min}=6{,}3\cdot10^{-3}=0{,}63\%$ .

Период колебаний $T=2\pi\sqrt{LC}=6{,}3\cdot10^{-4}\ \text{с}$ . Температура нити лампочки за период не успевает измениться, поэтому лампочка ведёт себя просто как резистор. Как следует из пункта 1, её сопротивление в установившемся режиме при $\varepsilon=3\%$ равно $R=(\varepsilon/\pi)\sqrt{L/C}=9{,}55\ \text{Ом}$ . Проведём на вольт-амперной характеристике прямую, соответствующую этому значению сопротивления. Точка пересечения прямой с вольт-амперной характеристикой лампы определяет эффективное напряжение на лампочке $U_\text{эфф}=1{,}75\ \text{В}$ . Следовательно, $U_0=\sqrt2U_\text{эфф}\approx2.5\ \text{В}$ .

Примечание. Из-за неточности графического определения $R_0$ и $U_\text{эфф}$ численные значения этих величин могут отличаться приблизительно на 5%.

Система оценивания

Критерий	Баллы
Работа внешних сил за период колебаний	1
Графическое определение $R_0$	1
Выражение для потерь энергии за период	1
Условие возбуждения незатухающих колебаний	2
Определение $\varepsilon_{\min}$	2
Определение $R$ в стационарном режиме колебаний (при $\varepsilon=3\%$ )	1
Графическое определение $U_\text{эфф}$ на лампочке в стационарном режиме	1
Определение амплитуды стационарных колебаний	1

Оригинал в Архива: final07T.pdf